Te hago el plano tangente

Tienes la ecuación de la superficie: x*y*z = 1,

que es una superficie de nivel de la función cuya expresión es:

f(x,y,z) = x*y*z, cuyo dominio es R³, y es diferenciable en todos los puntos de su dominio;

luego, planteas la expresión de su vector gradiente, y queda:

∇f(x,y,z) = .

Luego, tienes que el punto en estudio: P₀(a,b,c) pertenece a la superficie, por lo que reemplazas sus coordenadas en la ecuación correspondiente, y queda:

a*b*c = 1, aquí haces pasajes de factores como divisores, y queda: c = 1/(a*b) (1).

Luego, evalúas la expresión del gradiente para el punto en estudio, y queda: ∇f(a,b,c) = (2).

Luego, planteas que un vector normal del plano tangente en el punto en estudio es el vector cuya expresión es la expresión señalada (2) (recuerda que el gradiente de una función diferenciable es perpendicular a la superficie en todo punto), y con las coordenadas del punto en estudio, tienes la ecuación cartesiana implícita del plano:

b*c*(x - a) + a*c*(y - b) + a*b*(z - c) = 0,

distribuyes, ordenas términos, reduces términos semejantes, y queda:

b*c*x + a*c*y + a*b*z - 3*a*b*c = 0;

luego, sustituyes la expresión señalada (1), simplificas y queda:

(1/a)*x + (1/b)*y + a*b*z - 3 = 0 (2),

que es una ecuación cartesiana implícita del plano tangente a la superficie en el punto en estudio.

Luego, a fin de determinar los puntos de intersección entre el plano tangente y los ejes coordenados, anulas dos coordenadas y despejas la tercera en la ecuación del plano remarcada y señalada (2), y quedan los puntos:

A(3*a,0,0), B(0,3*b,0) y C( 0,0,3/(a*b) ).

Luego, planteas la expresión del área de la base del tetraedro (que suponemos corresponde a su cara incluida en el plano coordenado OXY), y queda:

A_base = |OA|*|OB|/2 = (3*a)*(3*b)/2 = 9*a*b/2 (3).

Luego, plantea la expresión de la altura del tetraedro (observa que es igual a la longitud de su arista incluida en el eje coordenado OZ), y queda:

h = |OC| = 3/(a*b) (4).

Luego, planteas la expresión del volumen del tetraedro, y queda:

V = (1/3)*A_base*h,

sustituyes las expresiones señaladas (3) (4), y queda:

V = (1/3)*(9*a*b/2)*( 3/(a*b) ),

simplificas, y queda:

V = 9/2,

que es una expresión que no depende de las coordenadas del punto en estudio.

Espero haberte ayudado.

Muchas Gracias.

Una última pregunta, saben cómo puedo resolver este problema?

A mí lo que me confunde es pensarlo con la distancia taxi.

Está bien si dijo que ambos son incompletos, y lo justifico de la siguiente manera:

Mil gracias César me ayudaste mucho. 

evidentemente no se puede llegar a conseguir la velocidad c

Por favor, consulta con tus docentes si hay error en la impresión de tu enunciado para que podamos ayudarte.

El enunciado está bien redactado.

Hay que fijarse que el precio de venta es por unidad (hay que multiplicarlo por el número de unidades)

mientras que el coste de producción es por todas las unidades producidas ese día

La función a optimizar sería

B(x) = x · P(x) - C(x)

donde B(x) sería el beneficio diario fabricando x unidades y P(x) y C(x) las funciones dadas en el enunciado

Efectivamente sale x=15  de valor 275/2  

Recuerda que a una fila le puedes sumar un múltiplo escalar de otra fila.

Las operaciones sobre las dos primeras filas están bien hechas, pero debes corregir la operación sobre la tercera fila,

a la que le debes sumar la segunda fila multiplicada por 1/2 (en forma esquemática: F₃+(1/2)F₂).

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias

El contenido de unicoos llega solamente hasta los cursos de Bachillerato, los temas que mencionas son mas universitarios.

Hay videos sobre excepciones universitarias, como EDOs , autovalores etc.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

También agradecemos la colaboración de estudiantes avanzados en la resolución de dudas de otros de niveles más bajos.

1)

Mantienes la segunda ecuación, sustituyes la expresión de sus segundo término en la primera ecuación, reduces términos semejantes, y queda:

-3y² - 4z² + 4 = 0,

x = y;

luego, multiplicas por -1 en todos los términos y haces pasaje de término en la primera ecuación, y queda:

3y² + 4z² = 4 (1),

x = y (2),

y observa que la primera ecuación corresponde a un cilindro elíptico con eje OX, y que la segunda ecuación corresponde a un plano que contiene al eje OZ;

luego, puedes proponer la parametrización:

y = t (observa que t debe tomar valores mayores o iguales que cero),

sustituyes en las ecuaciones señaladas (2) (3), y queda:

3t² + 4z² = 4, aquí haces pasaje de término, y luego de factor como divisor, y queda: z² = (4 - 3t²)/4 (1*),

x = t;

luego, distribuyes el denominador y haces pasaje de potencia como raíz en la ecuación señalada (1*) (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

z = √(1 - 3t²/4);

luego, observa el argumento de la raíz cuadrada en la última ecuación remarcada, y tienes la condición:

1 - 3t²/4 ≥ 0, haces pasaje de término, y quueda:

-3t²/4 ≥ -1, multiplicas por -1/3 en ambos miembros (observa que cambia la desigualdad), y queda:

3t²/4 ≤ 1, haces pasajes de divisor como factor y de factor como divisor, luego de potencia como raíz (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

t ≤ √(4/3);

luego, con las ecuaciones remarcadas, tienes un sistema de ecuaciones cartesianas paramétricas para la curva:

x = t,

y = t,

z = √(1 - 3t²/4),

con 0 ≤ t ≤ √(4/3).

Esta es una forma para presentar ecuaciones que correspondan a la curva, y no es la única.

Espero haberte ayudado.

Creo que tu duda está mal formulada y considero que hay un error. Me explico según lo que he aprendido, ya los maestros me corrigirán si tengo algún equívoco: 

Primero, una función es una aplicación que transforma un elemento de un conjunto en otro. Es decir, si tienes 1 que se transforma en a. Entonces tienes una función f(x) = x tal que si remplazo f(1) = a obtengo la transformación. Sin embargo, cuando la salida de la función f es pasada a otra función h, por ejemplo, pues ésta termina siendo una composición de f. 

Segundo, la salida, por ejemplo, de la función f(x) = x + 1 se vuelve la entrada de otra otra h(x) = x² + 3 lo que nos lleva a mapear (ó transformar) el valor del conjunto inicial con el conjunto final de forma que sea un proceso para llegar al valor final. Sin embargo, la composición de función nace de la pregunta: ¿Y cómo podemos llegar al valor final sin necesidad de pasar un proceso sino ir directamente? Esto es la composición de función tal que (h o f)(x) que es lo mismo a tener h(f(x)).

Tercero, cuando hemos encontrado la composición de la función h(f(x)) es porque vamos a tener un reemplazo de una correspondencia de fórmula dentro de la nueva función que sería (h o f)(x) = f(x)² + 3. Por lo tanto, se reemplaza = (x + 1) ² + 3. 

Conclusión, la nueva función (h o f)(x) = (x + 1)² + 3. Así vamos directamente a la imagen del conjunto final. Asi que, por favor, trata de ver si hay en h una función dada. Yo es que no la veo, no sé si otro la verá. 

Saludos. 

Oh, acabo de ver la respuesta del maestro. Ya veo que me falto. Mañana la miro.

Saludos