Observa que la expresión factorizada del argumento del valor absoluto es: (x - 3)*(x + 1),

y observa que esta expresión toma valores negativos en el intervalo en estudio: [0,2],

por lo que la expresión de la función de tu enunciado puede escribirse:

f(x) = -(x² - 2x - 3)/(x + 4), distribuyes el signo en el numerador, y queda:

f(x) = (-x² + 2x + 3)/(x + 4) (1).

y observa que es continua en el intervalo cerrado: [0,2];

luego, planteas la expresión de la función derivada, aplicas la Regla de la División de Funciones para derivar la expresión de la función señalada (1), y queda:

f'(x) = [(-2x + 2)*(x + 4) - (-x² + 2x + 3)*1]/(x + 4)², distribuyes y reduces términos semejantes en el numerador, y queda:

f(x) = (-x² - 8x + 5)/(x + 4)² (2),

y observa que es continua en el intervalo abierto (0,2)  (2).

Luego, tienes:

a) que la función f es continua en el intervalo cerrado [0,2],

b) que la función f es derivable en el intervalo abierto (0,2);

por lo que aplicas el Teorema del Valor Medio, y puedes afirmar que existe un valor c perteneciente al intervalo abierto (0,2), tal que se cumple:

[f(2) - f(0)]/(2 - 0) = f'(c); 

reemplazas los valores de la función evaluada en el numerador del primer miembro, resuelves el denominador, sustituyes la expresión de la función derivada evaluada para el valor genérico c en el segundo miembro, y queda:

(1/2 - 3/4)/2 = (-c² - 8c + 5)/(c + 4)²,

resuelves el primer miembro, y queda:

-1/8 = (-c² - 8c + 5)/(c + 4)²,

multiplicas en ambos miembros por 8 y por (c + 4)², y queda:

-(c + 4)² = 8*(-c² - 8c + 5),

desarrollas ambos miembros, y queda:

-c² - 8c - 16 = -8c² - 64c + 40,

sumas 8c² y sumas 64c en ambos miembros, restas 40 en ambos miembros, y queda:

7c² + 56c - 56 = 0,

divides por 7 en todos los términos, y queda:

c² + 8c - 8 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

a)

c = [-8 - √(96)]/2 ≅ -8,899, que no pertenece al intervalo abierto (0,2),

b)

c = [-8 + √(96)]/2 ≅ 0,899, que sí pertenece al intervalo abierto (0,2).

Espero haberte ayudado.

Métodos númericos https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve++50000%3D+1037.92+*+%281-%281%2Bx%29%5E%28-60%29%29%2F%28x%29

Puedes proponer las sustituciones (cambios de incógnitas):

logx = r (1),

logy = s (2);

luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), y el sistema de ecuaciones de tu enunciado queda:

3*r - 2*s = 3 (3),

r + s = 1, de aquí despejas: s = 1 - r (4);

luego, sustituyes la expresión señalada (4) en la ecuación señalada (3), y queda:

3*r - 2*(1 - r) = 3, distribuyes el segundo término, reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

5*r - 2 = 3, sumas 2 en ambos miembros, luego divides por 5 en ambos miembros, y queda: r = 1 (5);

luego, reemplazas el valor señalado (5) en la ecuación señalada (4), resuelves, y queda: s = 0 (6);

luego, reemplazas el valor señalado (5) en la ecuación señalada (1), reemplazas el valor señalado (6) en la ecuación señalada (2), y queda:

logx = 1,

logy = 0;

luego, compones en ambos miembros de ambas ecuaciones con la función inversa del logaritmo decimal, y queda:

x = 10,

y = 1.

Espero haberte ayudado.

Puedes comenzar por factorizar el numerador y el denominador del argumento de la raíz cuarta (observa que se trata de dos expresiones polinómicas cuadráticas), y queda:

f(x) = (x - 3)*(x + 1) / (x + 4)*(x + 3).

Luego, observa que deben cumplirse dos condiciones:

1°)

El denominador del argumento debe ser distinto de cero, por lo que tienes dos opciones:

a)

x + 4 ≠ 0, aquí despejas, y queda:

x ≠ - 4 (1),

b)

x + 3 ≠ 0, aquí despejas, y queda:

x ≠ -3 (2).

2°)

El argumento de la raíz cuarta debe ser positivo, por lo que tienes ocho opciones:

a)

x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≥ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≥ 3, y x ≥ -1, y x > -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación:

x ≥ 3 (3);

b)

x - 3 ≤ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≤ 3, y x ≤ -1, y x < -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación:

x < -4 (4);

c)

x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≥ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≥ 3, y x ≥ -1, y x < -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;

d)

x - 3 ≤ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≤ 3, y x ≤ -1, y x > -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción queda expresado por la inecuación doble:

-3 < x ≤ -1 (5);

e)

x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≥ 3, y x ≤ -1, y x > -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;

f)

x - 3 ≥ 0, y x + 1 ≤ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≥ 3, y x ≤ -1, y x < -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;

g)

x - 3 ≤ 0, y  x + 1 ≥ 0, y x + 4 > 0, y x + 3 < 0, despejas en estas cuatro inecuaciones, y queda:

x ≤ 3, y x ≥ -1, y x > -4, y x < -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío;

h)

x - 3 ≤ 0, y  x + 1 ≥ 0, y x + 4 < 0, y x + 3 > 0, despejas en estas cuatro inecucaciones, y queda:

x ≤ 3, y x ≥ -1, y x < -4, y x > -3, y observa que el intervalo solución de esta opción es el intervalo vacío.

Luego, a partir de las ecuaciones negadas remarcadas y señaladas (1) (2), y de las inecuaciones remarcadas y numeradas (3) (4) (5), puedes concluir que el dominio de la función es el intervalo:

D = ( -∞ ; -4 ) ∪ ( -3 ; -1 ] ∪ [ 3 ; +∞).

Espero haberte ayudado.

Se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis siempre también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro.