Tienes la expresión de la función producción diaria:

q(t) = 500*(1 - e^-0,321*t) (1).

a)

Evalúas la expresión señalada (1) para t = 1, y queda:

q(1) = 500*(1 - e^-0,321*1) = 500*(1 - e^-0,321) ≅ 137,288 ≅ 137 unidades.

b)

Planteas la diferencia entre las producciones de los días indicados, y queda:

Δq = q(5) - q(3), sustituyes la expresión (1) evaluada para el valor correspondiente en cada término, y queda:

Δq = 500*(1 - e^-0,321*5) - 500*(1 - e^-0,321*3), resuelves exponentes, y queda:

Δq = 500*(1 - e^-1,605) - 500*(1 - e^-0,9,63), extraes factor común (presta atención a los signos), y queda:

Δq = 500*(1 - e^-1,605 - 1 + e^-0,9,63), cancelas términos opuestos y ordenas términos en el agrupamiento, y queda:

Δq = 500*(e^-0,9,63 - e^-1,605) ≅ 500*(0,382 - 0,201) ≅ 500*0,181 ≅ 90,5 ≅ 91 unidades.

c)

Observa que tienes el valor de la producción del día indicado, por lo que puedes plantear la ecuación:

q(t) = 460, sustituyes la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:

500*(1 - e^-0,321*t) = 460, divides por 500 en ambos miembros, y queda:

1 - e^-0,321*t = 0,92, restas 1 en ambos miembros, y queda:

-e^-0,321*t = -0,08, multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

e^-0,321*t = 0,08,compones en ambos miembros con la función inversa de la función exponencial natural, y queda:

-0,321*t = ln(0,08), divides por -0,321 en ambos miembros, y queda:

t = -ln(0,08)/0,321, resuelves, y queda:

t ≅ 7,868 ≅ 8 días.

Espero haberte ayudado.

Puedes designar:

x: ancho del terreno,

y: largo del terreno,

y puedes considerar que uno de los largos se encuentra sobre la pared, por lo que el contratista debe emplear la cerca en dos anchos y un largo, y tienes la ecuación:

2x + y = 500, y de aquí despejas: y = 500 - 2x (1).

a)

Planteas la expresión del área del terreno rectangular, y queda:

A = x*y, aquí sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

A = x*(500 - 2x), distribuyes, y queda:

A = 500x - 2x² (2),

que es la expresión del área del terreno rectangular en función de su ancho, observa que esta función es continua y también derivable, y observa que su dominio es el intervalo: D = (0,500).

b)

Planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

A' = 500 - 4x, planteas la condición de valor estacionario (posible máximo o posible mínimo), y queda:

A' = 0, sustituyes la expresión de la función derivada primera en el primer miembro, y queda:

500 - 4x = 0, y de aquí despejas:

x = 125 m;

luego, a fin de verificar que corresponde a un máximo de la función, evalúas la expresión señalada (2) para un valor menor y para otro mayor que el valor estacionario, y queda:

A(124) = 500(124) - 2(124²) = 62000 - 30572 = 31248 pie²,

A(125) = 500(125) - 2(125²) = 62500 - 31250 = 31250 pie²,

A(126) = 500(126) - 2(126²) = 63000 - 31752 = 31248 pie²;

y puedes apreciar que el ancho: x = 125 m corresponde al valor máximo del área: A = 31250 pie²;

luego, reemplazas el valor estacionario en la expresión señalada (1), y queda:

y = 500 - 2(125) = 500 - 250 = 250 m, y tienes que el largo del terreno con área máxima es: y = 250 m.

Espero haberte ayudado.

Puedes designar:

t: temperatura (en °F),

y: cantidad de chirridos.

a)

Tienes en tu enunciado que la cantidad de chirridos es una función lineal de la temperatura, por lo que su expresión es:

y = m*(t - t₀) + y₀ (1).

Luego, tienes en tu enunciado:

t₀ = 70 °F, y₀ = 113 (primera situación),

t₁ = 80 °F, y₁ = 173 (segunda situación).

Luego, planteas la expresión de la pendiente, y queda:

m = (y₁ - y₀)/(t₁ - t₀), reemplazas valores, y queda:

m = (173 - 113)/(80 - 70), resuelves el numerador, resuelves el denominador, y queda:

m = 60/10, resuelves, y queda: m = 6.

Luego, reemplazas el valor de la pendiente y los valores correspondientes a la primera situación en la ecuación señalada (1), y queda:

y = 6*(t - 70) + 113, distribuyes el primer miembro, y queda:

y = 6*t - 420 + 113, reduces términos semejantes, y queda:

y = 6*t - 307 (2).

b)

Evalúas la expresión remarcada y señalada 82) para la temperatura en estudio: t = 85 °F, y queda:

y = 6*85 - 307, resuelves el primer término, y queda:

y = 510 - 307. resuelves, y queda:

y = 203 chirridos.

Espero haberte ayudado.

El 36 que pasas para el miembro de la derecha, pasa siendo negativo, con lo cual te cambia la ecuación, que sería  (y-1)²/9 - (x-3)²/4 =1,  por lo que la hipérbola te va a salir con el eje principal paralelo al eje Y: 

Has completado correctamente los binomios elevados al cuadrado, y en tu quinta línea te ha quedado:

9*(x - 3)² - 81 - 4*(y - 1)² + 4 + 113 = 0, reduces términos numéricos, y queda:

9*(x - 3)² - 4*(y - 1)² + 36 = 0, restas 36 en ambos miembros, y queda

9*(x - 3)² - 4*(y - 1)² = -36, divides por -36 en todos los términos, y queda:

-(x - 3)²/4 + (y - 1)²/9 = 1,

que es la ecuación cartesiana canónica de una hipérbola con eje focal paralelo al eje OY, cuyos elementos son:

C(3,1) (centro de simetría),

a = √(9) = 3 (longitud del semieje real),

b = √(4) = 2 (longitud del semieje imaginario),

c = √(9 + 4) = √(13) (longitud del semieje focal),

A₁( 3 , -2 ) y A₂( 3 , 4 ) (vértices reales),

B₁( 5 , 1 ) y B₂( 1 , 1 ) (vértices imaginarios),

F₁( 3 , 1-√(13) ) y F₂( 3 , 1+√(13) ) (vértices reales),

x = 3 (ecuación cartesiana del eje focal),

y = 1 (ecuación cartesiana del eje imaginario),

e = √(13)/3 (excentricidad).

Espero haberte ayudado.

Una vez calculados los vértices de la región factible que son los puntos A, B y C, resolviendo los sistemas con las rectas que los determinan, se sustituyen las coordenadas de dichos puntos en la función objetivo F (x,y) = 10x + 30y.

Se observa que cantidad es menor (pues el ejercicio pide minimizar F) y resulta que es 1400 que proviene de sustituir la función objetivo F en el punto B = (40,50) que es por tanto el resultado del problema.

Elipse

Al final te has olvidado de derivar la expresión cuando x > 0.   Si lo haces, sí te va a salir derivable en x = 0.

Cuál es el enunciado del problema ?

Resuelve este logaritmo sabiendo que x es  3 y la y es 2

Vamos con una orientación.

Tienes la expresión logarítmica:

x = log( √(x²*y³)/1000 ),

aplicas la propiedad del logaritmo de una división, y queda:

x = log( √(x²*y³) ) - log(1000),

aplicas la propiedad del logaritmo de una raíz, en este caso cuadrada, en el primer término, y queda:

x = (1/2)*log(x²*y³) - log(1000),

aplicas la propiedad del logaritmo de una multiplicación en el segundo factor del primer término, y queda:

x = (1/2)*( log(x²) + log(y³) ) - log(1000),

aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia en los dos términos del segundo factor del primer término, y queda:

x = (1/2)*( 2*log(x) + 3*log(y) ) - log(1000),

distribuyes el factor común en el primer miembro, y queda:

x = log(x) + (3/2)*log(y) - log(1000);

luego, reemplazas los valores que tienes en tu enunciado: x = 0,3 = 3/10 e y = 0,2 = 2/10, y queda:

x = log(3/10) + (3/2)*log(2/10) - log(1000),

aplicas la propiedad del logaritmo de una división en el primer término y en el segundo factor del segundo término, y queda:

x = log(3) - log(10) + (3/2)*( log(2) - log(10) ) - log(1000),

distribuyes el factor común en el tercer término, y queda:

x = log(3) - log(10) + (3/2)*log(2) - (3/2)*log(10) - log(1000);

luego, reemplazas valores de los logaritmos decimales exactos: log(10) = 1, log(1000) = 3, y queda:

x = log(3) - 1 + (3/2)*log(2) - (3/2)*1 - 3,

reduces términos racionales, y queda:

x = log(3) + (3/2)*log(2) - 11/2.

Espero haberte ayudado.