Observa que tienes que los vectores w y u son ortogonales, entonces tienes que su producto escalar es igual a cero, por lo que puedes plantear la ecuación vectorial:

w • u = 0, sustituyes las expresiones vectoriales, y queda:

< m ; 1 ; n > • < 1 ; 0 ; 1 > = 0, desarrollas el producto escalar, y queda:

m*1 + 1*0 + n*1 = 0, resuelves coeficientes, cancelas el término nulo, y queda:

m + n = 0, de aquí despejas: n = -m (1);

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la ecuación que tienes en tu enunciado, y que corresponde al desarrollo del determinante, y queda:

2(-m) - 2*m - 1 = 0, resuelves el primer término, reduces términos semejantes, y queda:

-4*m - 1 = 0, y de aquí despejas:

m = -1/4;

luego, reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda:

n = 1/4.

Espero haberte ayudado.

Se trata de un problema de programación lineal (se estudia en 2º de Bachillerato). Las inecuaciones que conforman el sistema son consecuencia directa de las condiciones que impone el enunciado del problema. El sistema genera una región del plano (en el dibujo zona azul) denominada región factible. Todos los puntos (x,y) de la región factible son las posibles soluciones del problema.

Muchas gracias Jose por tu ayuda y entiendo lo que dices, pero no soy capaz de ver la lógica de la estructura del sistema. El libro que estoy estudiando (obvio la editorial) es de 4º de eso y hay bastantes problemas parecidos a este. Ya sé que una cosa es la resolución del sistema (lo cual, normalmente, no suele ser demasiado difícil) y otra muy distinta, y menos sencilla, generar dicho sistema a partir de un enunciado dado (como es el caso). Si no tienes inconveniente voy a plantear a tu atención, un nuevo problema de características similares a este y enunciado diferente,  del que tampoco soy capaz de armar el sistema de inecuaciones. Un saludo.

La condición debe verificarse "para todo ∈>0" Para ∈=2, en efecto se cumple porque genera un intervalo centrado en f(2) muy grande, pero si tomamos un valor de  ∈ pequeño, por ejemplo  ∈=0,1,     no encontramos ningún intervalo centrado en 2 de modo que si x está en dicho intervalo, se cumpla que  |f(x)-f(2)|<0,1,

Optimización

V= x(8-2x)² dm³

0<x<4 , ya que esos cuadrados recortados no pueden ser mayor que el propio cartón, ni tampoco una longitud puede ser negativa

Donde x es la altura de la caja, y (8-2x) es el lado de la base (cuadrada) que queda si le quitas x dm en cada lado.

Ya tienes la ecuación

Te pide un punto que en cada recta que esté a 3 unidades de distancia de P

No se, las rectas no se cortan, se cruzan perpendicularmente.

Se cortan en P(2,1,-1)

Hay 4 soluciones posibles:

R(1,-1,1) ^ S(0,0,-3)

R(1,-1,1) ^ S(4,2,1)

R(3,3,-3) ^ S(0,0,-3)

R(3,3,-3) ^ S(4,2,1)

Tiene razón Antonio, ahí va el desarrollo:

Por si te sirve, la solución es:

x+4/1 =  x-2/-2  =  y/1

https://www.youtube.com/watch?v=5bvA9Q8yTPE

Mirate el video d David

Exacto debe haber error en el enunciado.