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Discutir un sistema - Método de Gauss

Vamos con el determinante del primer miembro de la ecuación.

Le restas la primera columna a las demás columnas, y queda:

D =

1       0             0             0

1     x-1         x²-1        x³-1

3     x-1        2x-2        3x-3

3   2x-2     x²+2x-3   3x²-3.

Desarrollas el determinante según su primera fila, y queda:

D = 

 x-1          x²-1        x³-1

 x-1         2x-2        3x-3

2x-2     x²+2x-3    3x²-3.

Factorizas elementos, y queda:

 (x-1)               (x+1)(x-1)             (x-1)(x²+x+1)

 (x-1)                 2(x-1)                      3(x-1)

2(x-1)              (x-1)(x+3)             3(x+1)(x-1).

Extraes factor común (x-1) en las tres filas, y queda:

D = (x-1)³*

1         (x+1)       (x²+x+1)
1            2                3

2         (x+3)         3(x+1).

A la primera fila le restas la segunda fila, a la tercera fila le restas el doble de la segunda fila, y queda:

D = (x-1)³*

0         (x-1)       (x²+x-2)

1            2               3

0         (x-1)       (3x-3).

Desarrollas el determinante según su primera columna, y queda:

D = (x-1)³*(-1)*

(x-1)       (x²+x-2)

(x-1)       (3x-3).

Extraes factor común (x-1) en la primera columna, y queda:

D = (x-1)⁴*(-1)*

1     (x²+x-2)

1       (3x-3).

A la primera fila le restas la segunda fila, y queda:

D = (x-1)⁴*(-1)*

0        (x²-2x+1)

1           (3x-3).

Factorizas elementos, y queda:

D = (x-1)⁴*(-1)*

0       (x-1)²

1       3(x-1).

Extraes factor común (x-1) en la segunda columna, y queda:

D = (x-1)⁵*(-1)*

0     (x-1)

1        3.

Desarrollas el determinante secundario, y queda:

D = (x-1)⁵*(-1)*(-1)*(x-1), reduces factores semejantes, cancelas el factor unitario, y queda

D = (x-1)⁶.

Luego, tienes la ecuación de tu enunciado:

D = 0, sustituyes en el primer miembro, y queda:

(x - 1)⁶ = 0, haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

x - 1 = 0, haces pasaje de término, y queda

x = 1.

A modo de verificación, reemplazas la solución remarcada en la expresión del determinante del enunciado, y queda:

D =

1     1     1     1

1     1     1     1

3     3     3     3

3     3     3    3;

y tienes que el determinante es igual a cero por tener filas iguales.

Espero haberte ayudado.

Recuerda la definición de experanza: E(X) = _-∞∫^+∞ x*f(x)*dx;

y observa que para este ejercicio queda:

E(X) = ₀∫^π/2 x*cosx*dx.

Luego, aplicas el Método de Integración por Partes (te dejo la tarea), y queda:

E(X) = [ x*senx + cosx ], para evaluar entre 0 y π/2;

luego, evalúas con la Regla de Barrow, y queda:

E(X) = (π/2 + 0) - (0 + 1) = π/2 - 1 = (π - 2)/2 = (1/2)*(π - 2).

Espero haberte ayudado.

a)

Observa que ( P₂(x) , + ) es un grupo conmutativo, porque

la suma en este conjunto es cerrada, asociativa, tiene elemento neutro, tiene elementos opuestos y es conmutativa.

Observa que ( R , + , * ) es un cuerpo conmutativo.

Luego, considera los elementos genéricos: p_a(x) y p_b(x) pertenecientes a P₂(x), y también: a, b, 1 pertenecientes a R;

y observa que se cumplen las propiedades:

a*p_a(x) pertenece a P₂(x);

a*( p_a(x)+p_b(x) ) = a*p_a(x) + a*p_b(x);

(a+b)*p_a(x) = a*p_a(x) + b*p_b(x);

(a*b)*p_a(x) = a*( b*p_a(x) );

1*p_a(x) = p_a(x).

Luego, considera la expresión de un elemento genérico de P₂(x), y observa que indicamos con A, B, C a sus coeficientes:

p_a(x) = A + Bx + Cx² = A*1 + B*x + C*x²;

luego, observa que la base canónica del espacio vectorial P₂(x) queda: B_c = { 1 , x , x² }, 

queda para que muestres que los elementos de la base canónica son linealmente independientes,

y observa que la dimensión del espacio vectorial es: dim( P₂(x) ) = |Bc| = 3.

b)

1)

Plantea la combinación lineal (indicamos con a, b, c a los coeficientes a determinar):

a*p₁(x) + b*p₂(x) + c*p₃(x) = 0(x),

sustituyes expresiones, y queda:

a*(x + x²) + b*(1 + x) + c*(1 + x²) = 0 + 0*x + 0*x²,

distribuyes en todos los términos del primer miembro, y queda:

a*x + a*x² + b*1 + b*x + c*1 + c*x² = 0 + 0*x + 0*x²,

ordenas términos y extraes factores comunes según las potencias de x en el primer miembro, y queda:

(b + c)*1 + (a + b)*x + (a + c)*x² = 0*1 + 0*x + 0*x²;

b + c = 0

a + b = 0, aquí haces pasaje de término, y queda: b = -a (1),

a + c = 0, aquí haces pasaje de término, y queda: c = -a (2);

luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en la primera ecuación, y qeuda

-a - a = 0 haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

-2a = 0, haces pasaje de factor como divisor, y queda: a = 0,

luego reemplazas en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda: b = 0, c = 0;

y como los tres coeficientes de la combinación lineal son iguales a cero, tienes que los elementos del conjunto B son linealmente independientes y, como el cardianal del conjunto es igual a la dimensión del espacio vectorial, tienes qu eel conjunto B es una base de P₂(x).

2)

Plantea la combinación lineal (indicamos con a, b, c a los coeficientes a determinar):

a*p₁(x) + b*p₂(x) + c*p₃(x) = p(x),

sustituyes expresiones, y queda:

a*(x + x²) + b*(1 + x) + c*(1 + x²) = 4 - 2*x + 6*x² (*),

distribuyes en todos los términos del primer miembro, y queda:

a*x + a*x² + b*1 + b*x + c*1 + c*x² = 4 - 2*x + 6*x²,

ordenas términos y extraes factores comunes según las potencias de x en el primer miembro, y queda:

(b + c)*1 + (a + b)*x + (a + c)*x² = 4*1 - 2*x + 6*x²;

luego, por igualdad entre polinomios, tienes el sistema de tres ecuaciones lineales, de primer grado, con tres incógnitas:

b + c = 4

a + b = -2, aquí haces pasaje de término, y queda: b = -2 - a (1),

a + c = 6, aquí haces pasaje de término, y queda: c = 6 - a (2);

luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en la primera ecuación, y qeuda

-2 - a + 6 - a = 4, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

-2a = 0, haces pasaje de factor como divisor, y queda: a = 0,

luego reemplazas en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda: b = -2, c = 6;

luego reemplazas valores en la ecuación polinómica señalada (*), y queda:

0*(x + x²) - 2*(1 + x) + 6*(1 + x²) = 4 - 2*x + 6*x²,

que es la expresión del polinomio p(x) como combinación lineal de los polinomios p₁(x), p₂(x) y p₃(x).

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias!!

Vamos con una orientación.

Observa que el dominio de la función es: D = (0,+∞).

Recuerda la identidad: x = e^lnx (recuerda que g(x) = e^x y h(x) = lnx son expresiones de funciones inversas entre si).

Luego, tienes la expresión de la función de tu enunciado:

f(x) = x^1/x = (e^lnx)^1/x= e^(1/x)*lnx;

y la expresión de su función derivada primera es:

f ' (x) = e^(1/x)*lnx*( -(1/x²)*lnx + (1/x)*(1/x) ) = e^(1/x)*lnx*( -(1/x²)*lnx + (1/x²) ) = e^(1/x)*lnx*(1/x²)*(-lnx + 1),

y observa que la función derivada primera está definida en todo el dominio de la función.

Luego, planteas la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo), y tienes la ecuación:

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión del primer miembro, y queda:

e^(1/x)*lnx*(1/x²)*(-lnx + 1) = 0,

haces el pasaje de los dos primeros factores como divisores (observa que ambos son estrictamente positivos en el dominio de la función), resuelves en el segundo miembro, y queda:

-lnx + 1 = 0, haces pasaje de término, y queda:

1 = lnx, compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural, y queda:

e = x, que es la abscisa del punto crítico.

Luego, puedes continuar con el estudio de la función, a fin de caracterizar al punto crítico.

Espero haberte ayudado.

Te queda solo multiplicar matrices: