Necesito ayuda con este problema, si alguien me puede ayudar
Gracias!
a)
Integras, y tienes la expresión general de la función:
f(x) = x4/2 - 2x3 + C (1).
Derivas la expresión de la función derivada primera, y tienes la expresión de la función derivada segunda:
f ' ' (x) = 6x2 - 12x (2).
Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):
f ' (x) = 0, sustituyes la expresión de la función derivada primera, y queda:
2x3 - 6x2 = 0, divides por 2 en todos los términos de la ecuación, extraes factor común, y queda:
x2(x-3) = 0; luego, por anulación de un producto tienes dos opciones:
1)
x2 = 0, haces pasaje de potencia como raíz, y queda: x = 0, evalúas en la expresión de la función derivada segunda, y queda: f ' ' (0) = 0, y observa que para valores cercanos menores que 0 la función derivada primera toma valores negativos, y que para valores cercanos mayores que 0 la función derivada primera toma valores también negativos, por lo que tienes que la gráfica de la función presenta inflexión en x = 0, ya que la expresión de la función derivada segunda toma valores con signos distintos en los puntos considerados;
2)
x - 3 = 0, haces pasaje de término, y queda: x = 3, evalúas en la expresión de la función derivada segunda, y queda:
f ' ' (3) =6*32 - 12*3 = 54 - 36 = 18 > 0,
por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba, por lo que presenta un mínimo en x = 3.
Luego, plantea la condición del enunciado para este mínimo:
f(3) = -12, reemplazas la expresión evaluada de la función en el primer miembro, y queda:
34/2 - 2*33 + C = -12, resuelves términos, y queda:
81/2 - 54 + C = -12, haces pasajes de términos, reduces términos numéricos, y queda:
C = 3/2;
luego, reemplazas en la expresión señalada (1), y queda:
f(x) = x4/2 - 2x3 + 3/2,
que es la expresión de la función.
b)
La abscisa del punto de inflexión la tienes determinada: x = 0, y su ordenada queda: f(0) = 3/2,
por lo que el punto de inflexión queda expresado: Y(0,3/2):
Luego, observa que el valor de la función derivada primera en dicho punto es: f ' (0) = 0,
por lo que la pendiente de la recta tangente es: m = 0,
por lo que tienes que la recta es paralela al eje coordenado OX, y su ecuación cartesiana queda: y = 3/2.
Espero haberte ayudado.
Tienes el vector director de la recta r: u = <1,0,2> y un punto que pertenece a ella: A(0,1,-1).
Tienes el vector normal al plano de proyección: nπ = <1,-2,1>.
Luego, observa que el plano proyectante contiene a la recta, y por lo tanto al punto A(0,1,-1), y es perpendicular al plano de proyección, por lo que puedes plantear para su vector normal:
np = nπ x u = <1,-2,1> x <1,0,2> = <-4,-1,2>;
luego, planteas la ecuación del plano proyectante:
-4(x-0) - 1(y-1) + 2(z+1) = 0, distribuyes en todos los términos, reduces términos numéricos, y queda:
-4x - y + 2z + 3 = 0, multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, y queda:
4x + y - 2z - 3 = 0, haces pasaje de término, y queda:
4x + y - 2z = 3.
Luego, tienes que la proyección ortogonal de la recta sobre el plano de proyección π es la recta intersección entre este plano y el plano de proyección p, por lo que queda expresada por el sistema de ecuaciones cartesianas implícitas:
x - 2y + z = 0
4x + y - 2z = 3.
Espero haberte ayudado.
Tienes el vector director de la recta: u = <0,1,2>, y tienes un punto: a ella: P(1,2,2);
y observa que el punto P pertenece a la recta, por lo que no tienes que él mismo es su simétrico con respecto a la recta.
Por favor, consulta con tus docentes por las dudas se trate de un error de impresión de tu apunte.
Espero haberte ayudado.