No entiendo porque pasa de 2cos² (u)  a 2cos (u) + 1 en la ultima parte. Gracias!

Observa que saca factor común cos u en el numerador y recuerda que cos²u es lo mismo que multiplicar cos u  por el mismo

cos u  +  2* cos²u =

cos u  +  2* cos u * cos u =

cos u *(1 + 2*cos u) = 

cos u (2cos u + 1) 

Pon foto original, David y súbelo de nuevo al foro.

Halla cuántos enteros no superiores a 100 son primos .

Hola Antonio , esta es la pregunta original , es un problema de conteo , utilizo los primos menores o iguales a la raiz cuadrada de 100 , es decir 2,3,5 y 7 , calculo los multiplos de cada uno para restarlos al total de 100 , pero en esta operación hay que descontar los multiplos que coincidan con dos numeros primos , con tres numeros primos y con 4 ya no por que excede del numero 100 ,  ya he averiguado hacer este ejercicio , pero me saltó la duda del caso general del principio de inclusión exclusión con 4 elementos cualesquiera , cual sería la fórmula para descontar correctamente , ya que podría descontar más de la cuenta o menos , buscando en internet hay una fórmula sumatorio , pero no la comprendo muy bien para aplicarla , gracias por tu tiempo Antonio siempre tan atento .

√(2x) - √(x+17)  =  1

√(2x)  =  1+ √(x+17)

(√(2x))² =  (1+ √(x+17))²

2x =  1²+ (√(x+17))² + 2*1*√(x+17)

2x =  1²+ (x+17) + 2√(x+17)

2x =  1+ x+17 + 2√(x+17)

2x -1- x-17 =   2√(x+17)

x-18 =  2√(x+17)

(x-18)² =  (2*√(x+17))²

x²+18²-2*x*18 =  2²*(√(x+17))²

x²+324-36x =  4*(x+17)

x²+324-36x =  4x+68

x²+324-36x-4x-68 =  0

x²-40x+256 =  0

Aplicas la fórmula de resolución para ecuaciones de segundo grado y obtienes:

x₁=32     y    x₂= 8

para finalizar compruebas si los valores de x₁  y  x₂  son válidos en la ecuación original  √(2x) - √(x+17)  =  1 

Para x₁ -------->   √(2*32) - √(32+17)  =  1  ---------->   √(64) - √(49)  =  1   ------>   8 - 7 = 1   ----->   1=1  ---->   VÁLIDA  (=)

Para x₂-------->    √(2*8) - √(8+17)  ≠  1  ---------->   √(16) - √(25)  ≠  1   ------>   4 - 5 ≠ 1   ----->   -1≠1  ---->    NO VÁLIDA (≠)

Bueno, decirte que el sen(0)=0    y tu has puesto sen(0)=1 

Y no hay inconveniente en hacer algo de algebra en los límites.

Ahí está el detalle, confundí el cos0 con sen0, mil gracias.

Se trata de girar un complejo un cierto angulo.

Ejemplo: el vector (1,0)-> z= 1+0i  se puede girar π/2  si se multiplica  por un z de modulo =1  y argumento (π/2).
Lo mismo ocurre con tu ejercicio  , se gira el z=(4+i)   un angulo de 60º (equilátero).

Vamos con una orientación.

Tienes un triángulo equilátero, por lo que sus lados tienes todos medidas iguales, y sus ángulos interiores tienen todos medidas iguales.

Tienes un vértice en el origen de coordenadas: A(0,0).

Tienes oro vértice en el punto: B(4,1), que representa al número complejo: b = 4 + i.

Luego, debes encontrar el tercer vértice: C(x,y), que representa al número complejo: c = x + yi.

Luego, plantea la longitud del lado AB, que es igual al módulo del número complejo b: |b| = √(4²+1²) = √(16+1) = √(17).

Luego, como el triángulo es equilátero, tienes que la longitud del lado AC, que es igual al módulo del número complejo c, también es igual a √(17).

Luego, plantea que el número complejo c es igual al producto del número complejo b por un número complejo z, y queda:

b*z = c,

luego, recuerda que el módulo de un producto es igual al producto de los módulos, por lo que tienes:

|b|*|z| = |c|, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

|z| = |c|/|b| = √(17)/√(17) = 1;

luego, recuerda que el argumento de un producto es igual a la suma de los argumentos , por lo que tienes:

arg(b) + arg(z) = arg(c), haces pasaje de término, y queda:

arg(z) = arg(c) - arg(b),

y, observa que la expresión des segundo miembro es igual a la medida del ángulo interior con vértice A(0,0),

tienes que es igual a π/3, porque el triángulo es equilátero, y queda:

arg(z) = π/3;

luego, expresas al número complejo z en forma trigonométrica y finalmente en forma polar, tal como está en tu imagen.

Espero haberte ayudado.

En la primera tienes que empezar haciéndola por partes: t² lo que hay dentro de la raíz, entonces, en vez de tener dt, vas a tener 2tdt (derivando t²) y eso lo igualas a la derivada de lo que hay dentro de la raíz. Te queda t²=x/x+1        2tdt=dx   

Ahora te queda la integral de 2tarcsen(t)dt, simlificas: 2*integral tarcsen(t)dt 

Sigues haciéndola por partes: u=t  dv= arcsendt      du=dt  v=1/raíz1-t²     

Aplicas la fórmula integral u*dv= u*v-integral v*du

Te queda: 2[t*1/raíz1-t² -integral 1/raíz1-t²  *dt = 2t/raíz1-t²-2arcsen(raiz x/x+1) y ya sustituyes la t por su valor real: raiz x/x+1

De la segunda no estoy segura de cómo se hace

Guau , gracias :)

Observa que te presentan a la recta r como intersección entre dos planos, cuyos vectores normales son: <1,-1,0> y <1,1,-2>,

por lo que puedes proponer como vector director al producto vectorial entre ellos, y queda: u_r =<2,2,2>.

Observa que te presentan a la recta s como intersección entre dos planos, cuyos vectores normales son: <1,-1,1> y <0,1,1>,

por lo que puedes proponer como vector director al producto vectorial entre ellos, y queda: u_s =<-2,-1,1>.

Luego, planteas el producto vectorial entre los vectores directores de las rectas r y s, y queda:

w = <4,-6,2> = 2<2,-3,1>, por lo que puedes proponer como vector director de la recta buscada: u_p = <2,-3,1>.

Luego, con las coordenadas del punto P(1,-1,0) que pertenece a la recta buscada, y con las componentes de su vector director,

puedes plantear las ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas) de dicha recta:

(x - 1)/2 = (y + 1)/(-3) = (z - 0)/1.

Espero haberte ayudado.

Igualas el primer miembro con el segundo miembro en las ecuaciones cartesianas continuas de la recta, y queda la ecuación:

(x-1)/1 = y/1, de donde puedes despejar: x = y + 1 (1).

Igualas el tercer miembro con el segundo miembro en las ecuaciones cartesianas continuas de la recta, y queda la ecuación:

(z+2)/(-1) = y, de donde puedes despejar: z = -y- 2 (2).

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en la ecuación del plano, y queda:

y+1 + y + (-y-2) = 0, distribuyes en el último término del primer miembro, reduces términos semejantes, y queda:

y - 1 = 0, haces pasaje de término, y queda: y = 1;

luego, reemplazas en las ecuaciones señaladas (1) (2), resuelves, y queda: x = 2, z = -3;

por lo tanto, tienes que el punto A(2,1,-3) es el punto de intersección entre la recta y el plano, cuyas ecuaciones tienes en el enunciado.

Espero haberte ayudado.