Una ecuación con radicales cuadráticos puede dar lugar a falsas soulciones:

Hola Cesar, el 5/6 que esta dentro de la raíz esta dividiendo no sumando. 

Que mal ando de la vista !!€

muy buenas ahí en la solución del ejercicio habla de una formula (5.6)me podría decir cual es esa formula por favor 

inténtalo usando el cambio de variable

t=3x²-6x

Regla de la cadena

Observa que tienes las condiciones:

1°)

Con a = 0 y b = 0, tienes que el vector nulo: o = <0,0,0> pertenece al conjunto W.

2°)

Considera dos vectores genéricos del conjunto:

u₁ = <5a₁,b₁,5a₁+b₁>, con a₁ ∈ R y b₁ ∈ R,

u₂ = <5a₂,b₂,5a₂+b₂>, con a₂ ∈ R y b₂ ∈ R,

luego, planteas la expresión de la suma de los dos vectores genéricos, y queda:

u₁ + u₂ = 

= < 5a₁+5a₂ , b₁+b₂, 5a₁+b₁+ 5a₂+b₂ > = extraes factor común en la primera componente, ordenas términos en la tercera, y queda:

= < 5(a₁+a₂) , b₁+b₂ , 5a₁+5a₂+b₁+b₂ > = extraes factor común entre los dos primeros términos de la tercera componente, asocias términos, y queda:

= < 5(a₁+a₂) , b₁+b₂ , 5(a₁+a₂)+(b₁+b₂) > = planteas las sustituciones: a₁+a₂= a y b₁+b₂=b, sustituyes, y queda:

= < 5a , b , 5a+b >,

y tienes que el vector u₁+u₂ pertenece al conjunto W, ya que a y b son números reales porque son sumas de números reales.

3°) 

Considera el escalar genérico: k ∈ R,

y considera el vector genérico del conjunto: u₁ = <5a₁,b₁,5a₁+b₁>, con a₁ ∈ R y b₁ ∈ R,

luego, plantea la expresión del múltiplo escalar genérico del vector, y queda:

k*u₁ = 

= k*<5a₁,b₁,5a₁+b₁> = efectúas el producto entre escalar y vector, y queda:

= < k*5a₁ , k*b₁ , k*(5a₁+b₁) > = ordenas factores en la primera componente, distribuyes en la tercera, y queda:

= < 5*ka₁ , kb₁ , k*5a₁+k*b₁ > = ordenas factores en el primer término de la tercera componente, y queda:

= < 5*ka₁ , kb₁ , 5*ka₁+k*b₁ > = planteas las sustituciones: ka₁ = a y kb₁ = b, sustituyes, y queda:

= < 5a , b , 5a+b >,

y tienes que el vector k*u₁ pertenece al conjunto W, y que a y b son números reales porque son productos de números naturales.

Luego, por las condiciones señaladas (1°) (2°) (3°) tienes que el conjunto W es un subespacio vectorial de R³.

Luego, considera la expresión de un vector genérico del subespacio W:

u = 

= < 5a , b , 5a+b > = descompones como suma de dos vectores, según los escalares a y b, y queda:

= < 5a , 0 , 5a > + < 0 , b , b > = extraes factores escalares en ambos términos, y queda:

= 5a*< 1 , 0 , 1 > + b*< 0 , 1 , 1 >,

y tienes que el vector u es combinación lineal de los vectores <1,0,1> y <0,1,1>,

y como estos dos vectores son linealmente independientes (te dejo la tarea de demostrarlo),

entonces tienes que el conjunto:

B_W = { <1,0,1> , <0,1,1> } es una base del subespacio vectorial W,

y como su cardinal es dos, tienes que la dimensión del subespacio W es dos: dim(W) = 2.

Espero haberte ayudado.

Por favor envía una foto el enunciado completo para que podamos ayudarte.

Has planteado las integrales de línea en cada trazo, para luego sumar los resultados, pero observa que debes hacer correcciones.

Has parametrizado correctamente los trazos, por lo que la función vectorial de posición para los puntos de la trayectoria, por lo que tienes para cada uno de los trazos:

1)

r₁(t) = , con 0 ≤ t ≤ 1,

y la expresión del vector tangente (función derivada primera) queda:

r₁ ' (t) = <1,0>,

y la expresión parametrizada del campo vectorial queda:

F( r₁(t) ) = <0²,t²> = <0,t²>,

y el producto escalar entre el campo vectorial y el vector tangente queda:

F( r₁(t) ) • r₁ ' (t) = <0,t²> • <1,0> = 0*1+t²*0 = 0;

y la integral de línea del campo vectorial para este trazo queda:

I₁ = ₀∫¹ ( F( r₁(t) ) • r₁ ' (t) )*dt = ₀∫¹ 0*dt = 0 (1).

2)

r₂(t) = <1,t>, con 0 ≤ t ≤ 1,

y la expresión del vector tangente (función derivada primera) queda:

r₂ ' (t) = <0,1>,

y la expresión parametrizada del campo vectorial queda:

F( r₂(t) ) = <t²,1²> = <t²,1>,

y el producto escalar entre el campo vectorial y el vector tangente queda:

F( r₂(t) ) • r₂ ' (t) = <t²,1> • <0,1> = t²*0+1*1 = 1;

y la integral de línea del campo vectorial para este trazo queda (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):

I₂ = ₀∫¹ ( F( r₂(t) ) • r₂ ' (t) )*dt = ₀∫¹ 1*dt = [ t ] = evalúas = 1-0 = 1 (2).

3)

r₃(t) = <1-t,1>, con 0 ≤ t ≤ 1,

y la expresión del vector tangente (función derivada primera) queda:

r₃ ' (t) = <-1,0>,

y la expresión parametrizada del campo vectorial queda:

F( r₃(t) ) = <1²,(1-t)²> = <1,1-2t+t²>,

y el producto escalar entre el campo vectorial y el vector tangente queda:

F( r₃(t) ) • r₃ ' (t) = <1,1-2t+t²> • <-1,0> = 1*(-1)+(1-2t+t²)*0 = -1;

y la integral de línea del campo vectorial para este trazo queda:

I₃ = ₀∫¹ ( F( r₃(t) ) • r₃ ' (t) )*dt = ₀∫¹ -1*dt = [ -t ] = evalúas = -1-0 = -1 (3).

4)

r₄(t) = <0,1-t>, con 0 ≤ t ≤ 1,

y la expresión del vector tangente (función derivada primera) queda:

r₄ ' (t) = <0,-1>,

y la expresión parametrizada del campo vectorial queda:

F( r₄(t) ) = <(1-t)²,0²> = <1-2t+t²,0>,

y el producto escalar entre el campo vectorial y el vector tangente queda:

F( r₄(t) ) • r₄ ' (t) = <1-2t+t²,0> • <0,-1> = (1-2t+t²)*0+0*(-1) = 0;

y la integral de línea del campo vectorial para este trazo queda (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):

I₄ = ₀∫¹ ( F( r₂(t) ) • r₁ ' (t) )*dt = ₀∫¹ 0*dt = 0 (4).

Luego, planteas la expresión de la integral de línea para toda la trayectoria, y queda:

I =

= I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = reemplazas los valores señalados (1) (2) (3) (4), y queda:

= 0 + 1 + (-1) + 0 = 1 -1 = 0.

Vamos con la otra opción que has planteado para este problema, que has resuelto correctamente, pero a la que agregamos las justificaciones.

Observa que el campo vectorial tiene componentes continuas, cuyas derivadas parciales son continuas en R², que contiene a la trayectoria y a la región limitada por ella.

Observa que la región plana (R) limitada por la trayectoria es simplemente conexa (es un cuadrado "macizo"),

y queda descrita con las inecuaciones dobles:

0 ≤ x ≤ 1,

0 ≤ y ≤ 1.

Observa que la trayectoria (γ) es continua, cerrada, simple, suave en cuatro trazos, y está recorrida en sentido antihoriario.

Por todo lo anterior, tienes que se cumplen las hipótesis del Teorema de Green, por lo que puedes plantear (llamamos P y Q a la componentes del campo vectorial, tal como tú has hecho), cuyas derivadas parciales que son de interés para aplicar el teorema mencionados tienen las expresiones:

Q_x = 2x,

P_y = 2y.

Luego, planteas la integral de línea del campo vectorial, y queda:

I = 

= ∫_γ F∗dr = ∫_γ (P*dx + Q*dy) =

aplicas el Teorema de Green, y queda:

= ∫∫_R (Q_x - P_y)*dx*dy =

sustituyes los valores de los límites de integración y las expresiones de las funciones derivadas parciales de las componentes, y queda:

= ₀∫¹₀∫¹ (2x - 2y)*dx*dy =

resuelves la primera integral (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= ₀∫¹ [ x² - 2y*x ]*dy = 

evalúas, y queda:

= ₀∫¹ ( (1-2y) - (0-0) )*dy = ₀∫¹ (1-2y)*dy =

resuelves la segunda integral (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= [ y - y² ] =

evalúas, y queda:

= ( (1-1) - (0-0) ) = 0.

Espero haberte ayudado.