la c está mal:  u=(-b,a)

Comienza por suponer que la función f tiene dos primitivas: F₁ y F₂.

Luego, tienes las relaciones entre las primitivas y la función:

F₁' (x) = f(x),

F₂' (x) = f(x);

luego, restas miembro a miembro, y queda:

F₁' (x) - F₂' (x) = 0;

luego, integras término a término, y queda:

F₁ (x) - F₂ (x) = constante.

Por lo tanto, tienes que las funciones primitivas pueden ser distintas, pero difieren en una constante.

Por ejemplo:

F₁(x) = x² es una función primitiva de f(x) = 2x,

y también:

F₂(x) = x² + 5 es una función primitiva de f(x) = 2x.

Espero haberte ayudado.

es decir, que puede tener tantas primitivas como constantes pueda poner? básicamente infinitas

Tienes una ecuación en la que intervienen la matriz A, la matiz identidad I, y el número real 2:

A² + 2*A = 2*I,

expresas al primer término como una multiplicación, y queda:

A*A + 2*A = 2*I,

expresas a la matriz del segundo término como el producto de ella con la matriz identidad, y queda:

A*A + 2*A*I = 2*I,

ordenas factores en el segundo término (recuerda que el factor escalar puede conmutar, pero no pueden conmutar los factores matriciales), y queda:

A*A + A*2*I = 2*I,

extraes factor común por izquierda en el primer miembro, y queda:

A*(A - 2*I) = 2*I.

Espero haberte ayudado.

¿En qué nivel educativo estás?

en 4 ESO

Observa que el argumento de la raíz cuadrada del numerador debe ser mayor o igual que cero, y que la expresión del denominador debe ser distinta de cero, por lo que tienes dos condiciones:

1°)

2x + 4 ≥ 0, divides por 2 en todos los términos de la inecuación (observa que no camba la desigualdad):

x + 2 ≥ 0, restas 2 en ambos miembros de la inecuación, y queda:

x ≥ -2 (1);

2°)

x² - 9 ≠ 0, sumas 9 en ambos miembros, y queda:

x² ≠ 9, extraes raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación negada, y queda:

x ≠ -3 y x ≠ 3 (2);

luego, tienes que los elementos del dominio cumplen con las condiciones señaladas (1) (2), por lo que su expresión como intervalo queda:

D = [ -2 , 3 ) ∪ ( 3 , +∞ ).

Luego, observa que 0 pertenece al dominio, por lo que evalúas la expresión de la función para él, y queda:

f(0) = 2/(-9) = -2/9,

por lo que la gráfica de la función corta al eje coordenado OY en el punto: A(0,-2/9).

Luego, plantea la condición de intersección entre la gráfica de la función y el eje coordenado OX:

f(x) = 0, sustituyes la expresión de la función en el primer miembro de la ecuación, y queda:

√(2x+4)/(x²-9) = 0,

multiplicas en ambos miembros por (x²-9) (observa que esta expresión toma valores distintos de cero en todo el dominio de la función), y queda:

√(2x+4) = 0, elevas al cuadrado en ambos miembros de la ecuación, y queda:

2x + 4 = 0, divides por 2 en todos los términos de la ecuación, y queda:

x + 2 = 0, restas 2 en ambos miembros de la ecuación, y queda:

x = -2, que es un valor que pertenece al dominio de la función, por lo que la gráfica de la función corta al eje coordenado OX en el punto: B(-2,0).

Espero haberte ayudado.

Sí, tienes que poner el paréntesis puesto que

-1²≠(-1)²

En -1² elevas al cuadrado únicamente el uno y dejas el signo fuera. -1²=-1
En (-1)² elevas al cuadrado el menos y así multiplicando el menos por menos, da positivo. (-1)²=1

Tienes la expresión de la función:

f(x) = (2*x+1)/(x+1), 

cuyo dominio es: D = R - {1}.

Luego, puedes plantear:

f(1) = (2*1+1)/(1+2) = 3/3 = 1;

f(1+h) = (2*(1+h)+1)/(1+h+2) = (3+2*h)/(3+h).

Luego, puedes plantear la expresión del incremento de la función:

f(1+h) - f(1) =

= (3+2*h)/(3+h) - 1 = extraes denominador común, y queda:

= ( 3+2*h - 1*(3+h) )/(3+h) = distribuyes en el numerador, y queda:

= (3+2*h-3-h)/(3+h) = reduces términos semejantes en el numerador, y queda:

= h/(3+h) (1).

Luego, puedes plantear la expresión del cociente incremental:

( f(1+h) - f(1) )/h = sustituyes la expresión señalada (1) en el numerador, y queda:

= ( h/(3+h) )/h = simplificas, y queda:

= 1/(3+h) (2).

Luego, planteas la definición de derivada para el valor en estudio (x =1), y queda:

f ' (1) =

= Lím(h→0) ( f(1+h)-f(1) )/h = sustituyes la expresión señalada (2), y queda:

= Lím(h→0) ( 1/(3+h) ) = resuelves, y queda:

= 1/3, 

que es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto de contacto: A(1,1).

Luego, puedes plantear la ecuación cartesiana punto-pendiente de la recta tangente, y queda:

y = (1/3)*(x-1) + 1, distribuyes el primer término, y queda:

y = (1/3)*x - 1/3+1, reduces términos numéricos, y queda:

y = (1/3)x + 2/3,

que es la ecuación cartesiana explícita de la recta tangente a la gráfica en el punto de contacto A(1,1).

Espero haberte ayudado.