Observa que la función k tiene variable independiente α, por lo que tienes que x_i, n_i y N son constantes para la derivada de la función con respecto a α.

Recuerda la regla de derivación: "la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones".

Observa que la función k está expresada como una suma de funciones polinómicas cuadráticas.

Luego, tiene la expresión de la función:

k(α) = ∑(i) n_i*(x_i - α)²/N = ∑(i) (n_i/N)*(x_i - α)².

Luego, planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

k ' (α) = ( ∑(i) (n_i/N)*(x_i - α)² ) ',

aplicas la regla de derivación, y queda:

k ' (α) = ∑(i) ( (n_i/N)*(x_i - α)² ) ',

derivas el argumento de la sumatoria (observa que tienes un factor constante, y que debes aplicar la Regla de la Cadena), y queda:

k ' (α) = ∑(i) ( (n_i/N)*2*(x_i - α)*(-1) ) = ∑(i) ( (-2*n_i/N)*(x_i - α) ).

Luego, planteas la expresión de la función derivada segunda, y queda:

k '' (α) = ( ∑(i) ( (-2*n_i/N)*(x_i - α) ) ) ', 

aplicas la regla de derivación, y queda:

k '' (α) = ∑(i) ( (-2*n_i/N)*(x_i - α) ) ',

derivas el argumento de la sumatoria (observa que tienes un factor constante, y queda:

k '' (α) = ∑(i) ( (-2*n_i/N)*(-1) ) = ∑(i) ( (2*n_i/N) ),

y observa que la expresión de la función derivada segunda no depende de la variable independiente α.

Espero haberte ayudado.

Hola Andrea,

Vamos a llamar la recta 3x + y - 1= 0 con la letra 'r'.

Como bien has dicho el vector director de la recta 'r' es (1, -3). Sin embargo el vector perpendicular a esta recta no es (3, -1). Para encontrar el vector perpendicular a otro vector, basta con intercambiar las dos posiciones y multiplicar UN valor por -1, no los dos como has hecho tu.

Por lo tanto el vector perpendicular sería (3, 1).

Ahora solo queda formular las ecuaciones con el vector correcto.

recta perpendicular: (x, y) = (3, -1) + λ*(3, 1)

recta paralela: (x, y) = (3, -1) + λ*(1, -3)

3a)

Tienes la expresión de la función en el argumento del límite:

f(x) = √(x²-3x) - √(x²-1);

luego, multiplicas y divides por la expresión "conjugada", y queda:

f(x) = ( √(x²-3x) - √(x²-1) )*( √(x²-3x) + √(x²-1) ) / ( √(x²-3x) + √(x²-1) );

luego, distribuyes el producto, cancelas términos opuestos, resuelves potencias cuyos argumentos son raíces, y queda:

f(x) = ( x²-3x - (x²-1) ) / ( √(x²-3x) + √(x²-1) );

luego, distribuyes el segundo término en el numerador, cancelas términos opuestos, y queda:

f(x) = (-3x-1) / ( √(x²-3x) + √(x²-1) );

luego, extraes factor común x en el numerador, y extraes factor común x2 en los argumentos de las raíces, y queda:

f(x) = x*(-3-1/x) / ( √(x²*(1-3/x)) + √(x²*(1-1/x²)) );

luego, distribuyes las raíces entre los factores de sus argumentos, simplificas raíces y potencias (recuerda: √(x²) = |x|), y queda:

f(x) = x*(-3-1/x) / ( |x|*√(1-3/x) + |x|*√(1-1/x²) );

luego, extraes factor común en el denominador, y queda:

f(x) = x*(-3-1/x) / |x|*( √(1-3/x) + √(1-1/x²) );

luego, observa que tienes en tu enunciado que x toma valores muy grandes positivos, por lo que tienes: |x| = x, sustituyes, y queda:

f(x) = x*(-3-1/x) / x*( √(1-3/x) + √(1-1/x²) );

luego, simplificas, y queda:

f(x) = (-3-1/x) / ( √(1-3/x) + √(1-1/x²) );

y luego, solo queda que resuelvas el límite (observa que el numerador tiende a -3 y que el denominador tiende a 2, para x tendiendo a +∞.

Espero haberte ayudado.

3b)

Tienes la expresión de la función en el argumento del límite:

g(x) = 3x/(x²-4) - (x+1)/(x-2);

luego, factorizas el denominador en el primer término, multiplicas por x+2) al numerador y al denominador en el segundo término, y queda:

g(x) = 3x / (x-2)*(x+2) - (x+1)*(x+2) / (x-2)*(x+2);

luego, desarrollas el numerador en el segundo término, y queda:

g(x) = 3x / (x-2)*(x+2) - (x²+3x+2) / (x-2)*(x+2);

luego, extraes denominador común, y queda:

g(x) = ( 3x - (x²+3x+2) ) / (x-2)*(x+2);

luego, distribuyes el agrupamiento en el numerador, reduces términos semejantes, y queda:

g(x) = (-x²-2) / (x-2)*(x+2);

y luego, solo queda que resuelvas el límite (observa que el numerador tiende a -6 y que el denominador tiende a 0, para x tendiendo a 2,

y, además, sería muy conveniente que plantees también los límites laterales.

Espero haberte ayudado.

Sube foto del enunciado original del 2º ejercicio.

1)

Establece un sistema de referencia con instante inicial (t_i = 0) correspondiente a la partida del autobús, con origen en el punto A, y con sentido positivo acorde al desplazamiento de los dos móviles (expresamos las posiciones en Km y el tiempo en h).

Luego, plantea la ecuación de Movimiento Rectilíneo Uniforme para el autobús (observa que sus datos iniciales son: t_Ai = 0 y x_Ai = 0):

x_A = 90*t (1);

luego, tienes la posición: x_A1 = 25 Km, reemplazas en la ecuación señalada (1), y queda:

25 = 90*t, divides por 90 en ambos miembros, y queda:

5/18 h = t_A1, que es el instante correspondiente.

Luego, plantea la ecuación de Movimiento Rectilíneo Uniforme para el coche (observa que sus datos iniciales son: t_Ci = 5/18 h y x_Ci = 0):

x_C = 110*(t - 5/18), distribuyes, y queda:

x_C = 110*t - 275/9 (2).

Luego, planteas la condición de encuentro entre ambos móviles, y queda:

x_C = x_A, sustituyes las expresiones señaladas (2) (1), y queda:

110*t - 275/9 = 90*t, restas 90*t y sumas 275/9 en ambos miembros, y queda:

20*t = 275/9, divides por 20 en ambos miembros, y queda:

t = 55/36 h, que es el instante en que el coche alcanza al autobús;

luego, reemplazas el valor remarcado en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:

x = 275/2 Km, que es la posición en la que el coche alcanza al autobús.

Espero haberte ayudado.

Vamos a declarar las variables primero:

x = peso de la botella

y = peso de la leche cuando la botella está llena.

Primero nos dicen que la botella llena pesa 1200g. Por lo tanto x + y = 1200

Cuando hay la mitad de la leche, nos dicen que pesa 854g. Por lo tanto x + (y/2) = 854

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones fácil de resolver

(1) x+y = 1200    ---->    y = 1200-x

(2) x+(y/2) = 854   ------->  x + (1200-x)/2 = 854   ---->   x - x/2 = 854 - 600  ---->  x/2 = 254  ----> x = 254*2  = 508g

La botella vacía pesa 508g

Muchas gracias