Hay un punto de inflexión, cuando existe un cambio de concavidad en una función. 

Raíz de la segunda derivada si cambia el signo. 

¿Pero a qué te refieres con raíz de la segunda derivada si cambia el signo?

Hay punto de inflexión cuando la segunda derivada vale 0 (raíz) y si de un lado de la raíz el signo es distinto que del otro, eso significa que cambia la concavidad, si el signo es igual de ambos lados de dicha raíz (de f''(x)) no hay cambio de concavidad por lo tanto no hay punto de inflexión en ese caso.  

Observa que la longitud de la diagonal AD queda expresada: |AD| = x + 5 + x + 5 = 2x + 10 = 2*(x + 5) (1).

Comienza por indicar con M al punto de intersección entre el segmento BE y la diagonal AD.

Luego, observa que los triángulos ABM y ACD son semejantes, por lo que puedes plantear:

|AM|/|AD| = |BM|/|CD|, sustituyes expresiones, y queda:

(x + 5) / 2*(x + 5) = (x + 1) / 10, simplificas en el primer miembro, y queda:

1/2 = (x + 1)/10, multiplicas por 10 en ambos miembros, y queda:

5 = x + 1, haces pasaje de término, y queda:

4 = x;

luego, reemplazas en la ecuación señalada (1), y queda:

|AD| = 2*(4 + 5) = 2*9 = 18.

Espero haberte ayudado.

La funcion inversa es: 10^{(×^2+1)^2}-6, te dejo de tarea hallar el rango de la función, ya que el rango es el domimio de la función inversa.

Efectivamente el domimio es [4,+infinito), que a su vez

es rango de la función inversa.

Puedes comenzar por designar las incógnitas.:

x: cantidad de cajas pequeñas, y: cantidad de cajas medianas, z: cantidad de cajas grandes.

Luego, tienes en tu enunciado:

x + y + z = 60 (1) (se envasan sesenta cajas en total).

x = y + 5 (se envasan cinco cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano), haces pasaje de término, y queda: x - y = 5 (2);

Luego, observa que el precio de una caja pequeña (cuyo peso es un cuarto de kilogramo) es 40/4 = 10 euros,

observa que el precio de una caja mediana (cuyo peso es medio kilogramo) es 40/2 = 20 euros,

observa que el precio de una caja grade (cuyo peso es un kilogramo) es 40 euros.;

luego, tienes para el importe total:

10x + 20y + 40z = 1250, divides en todos los términos de la ecuación por 10, y queda: x + 2y + 4z = 125 (3).

Luego, observa que con las ecuaciones señaladas (1) (2) (3) tienes un sistema de tres ecuaciones lineales y de primer grado, con tres incógnitas, cuya matriz ampliada queda:

1      1      1      60

1     -1      0       5

1      2      4    125;

a la fila 2 le restas la fila 1, a la fila 3 le restas la fila 1, y queda:

1      1      1      60

0     -2     -1    -55

0      1      3      65;

a la fila 2 la multiplicas por -1, y queda:

1      1      1      60

0      2      1      55

0      1      3      65;

permutas la fila 2 con la fila 3, y queda:

1      1      1      60

0      1      3      65

0      2      1      55;

a la fila 1 le restas la fila 2, a la fila 3 le restas el doble de la fila 2, y queda:

1      0     -2      -5

0      1      3      65

0      0     -5     -75;

a la fila 3 la divides por -5, y queda:

1      0     -2      -5

0      1      3      65

0      0      1      15;

a la fila 1 le sumas el doble de la fila 3, a la fila 2 le restas el triple de la fila 3, y queda:

1      0      0       25

0      1      0       20

0      0      1       15;

luego, tienes la solución del problema:

x = 25 cajas pequeñas,

y = 20 cajas medianas,

z = 15 cajas grandes.

Espero haberte ayudado.

Tienes un conjunto generador del subespacio vectorial S₁,

y observa que su tercer elemento es igual a la suma del triple del primero más la mitad del segundo,

por lo que tienes que dicho conjunto no es una base, pero si incluye una base, formada por los dos primeros elementos, que puedes probar (te dejo la tarea) que son linealmente independientes:

B₁ = { x²+1 , 2x-2 }.

Tienes una conjunto generador del subespacio vectorial S₂, y puedes probar que es una base (te dejo la tarea) porque sus elementos son linealmente independientes:

B₂ = { 2x²+x , 1 }.

Luego, plantea la expresión de un elemento genérico del subespacio S₁∩S₂:

p(x) = ax² + bx + c (*).

1°)

Expresas al elemento genérico como combinación lineal de los elementos de la base B₁, y queda:

A*(x²+1) + B*(2x-2) = ax² + bx + c, distribuyes, agrupas términos, y queda:

A*x² + 2B*x + (A-2B) = ax² + bx + c, igualas coeficientes término a término, y queda:

A = a,

2B = b, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: B = b/2,

A - 2B = c;

luego, sustituyes las dos primeras expresiones en la tercera ecuación, simplificas, y queda:

a - b = c (1).

2°)

Expresas al elemento genérico como combinación lineal de los elementos de la base B₂, y queda:

C*(2x²+x) + D*(1) = ax² + bx + c, distribuyes, ordenas términos, y queda:

2C*x² + C*x + D = ax² + bx + c, igualas coeficientes término a término, y queda:

2C = a, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: C = a/2,

C = b, 

D = c;

luego, sustituyes la primera expresión en la segunda ecuación, y queda:

a/2 = b, aquí haces pasaje de divisor como factor, y queda:

a = 2b (2),

y observa que la última ecuación es independiente de las dos primeras.

3°)

Sustituyes la expresión señalada (2 en la ecuación señalada (1), y queda:

2b - b = c, reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

b = c (3);

luego, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3) en la expresión del elemento genérico señalada (*), y  queda:

p(x) = 2b*x² + b*x + b, extraes factor común, y queda:

p(x) = b*(2*x² + x + 1), 

por lo que tienes que el elemento genérico del subespacio S₁∩S₂ es múltiplo escalar del elemento del agrupamiento,

por lo que tienes que el conjunto:

B* = { 2*x² + x + 1 } es una base de este subespacio vectorial, 

y puedes concluir que la opción (B) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

(3/5)·(4/10)=(3/5)·(2/5)=6/25

Observa que la tangente del ángulo es positiva, por lo que el ángulo puede pertenecer al primer cuadrante o al tercer cuadrante.

Recuerda la identidad trigonométrica:

cos²a = 1/(1 + tan²a), reemplazas, y queda:

cos²a = 1/(1 + (3/2)²) = 1/(1 +9/4) = 1/(13/4) = 4/13 = 4*13/13²;

luego, haces pasaje de potencia como raíz, y quedan dos opciones:

cosa = 2*√(13)/13, con a perteneciente al primer cuadrante;

cosa = -2*√(13)/13, con a perteneciente al tercer cuadrante.

Recuerda la identidad trigonométrica:

sen²a = 1 - cos²a, reemplazas, y queda:

sen²a = 1 - 4/13 = 9/13 = 9*13/132;

luego, haces pasaje de potencia como raíz, y quedan dos opciones:

sena = 3*√(13)/13, con a perteneciente al primer cuadrante;

sena = -3*√(13)/13, con a perteneciente al tercer cuadrante.

a)

Recuerda la identidad trigonométrica:

cos(π + a) = cos(π)*cosa - sen(π)*sena = -1*cosa - 0*sena = -cosa - 0 = -cosa;

luego, reemplazas y tienes dos opciones:

cos(π + a) = -2*√(13)/13, con a perteneciente al primer cuadrante y (π + a) perteneciente al tercer cuadrante;

cos(π + a) = -(-2*√(13)/13) = 2*√(13)/13, con a perteneciente al tercer cuadrante y (π + a) perteneciente al primer cuadrante.

b)

Recuerda la identidad trigonométrica:

cos(2π - a) = cos(2π)*cosa + sen(2π)*sena = 1*cosa + 0*sena = cosa - 0 = cosa;

luego, reemplazas y tienes dos opciones:

cos(2π - a) = 2*√(13)/13, con a perteneciente al primer cuadrante y (2π - a) perteneciente al cuarto cuadrante;

cos(2π - a) = -2*√(13)/13 = -2*√(13)/13, con a perteneciente al tercer cuadrante y (2π - a) perteneciente al segundo cuadrante.

c)

Recuerda la identidad trigonométrica:

sen(π/2 - a) = sen(π/2)*cosa - cos(π/2)*sena = 1*cosa - 0*sena = cosa - 0 = cosa;

luego, reemplazas y tienes dos opciones:

sen(π/2 - a) = 2*√(13)/13, con a perteneciente al primer cuadrante y (π/2 - a) perteneciente al primer cuadrante;

sen(π/2 - a) = -2*√(13)/13, con a perteneciente al tercer cuadrante y (π/2 - a) perteneciente al tercer cuadrante.

d)

Recuerda la identidad trigonométrica:

sen(π/2 + a) = sen(π/2)*cosa + cos(π/2)*sena = 1*cosa + 0*sena = cosa + 0 = cosa;

luego, reemplazas y tienes dos opciones:

sen(π/2 + a) = 2*√(13)/13, con a perteneciente al primer cuadrante y (π/2 + a) perteneciente al segundo cuadrante;

sen(π/2 + a) = -2*√(13)/13, con a perteneciente al tercer cuadrante y (π/2 + a) perteneciente al cuarto cuadrante.

Espero haberte ayudado.

Razones trigonométricas

Aquí tienes todo demostrado:

http://www.monografias.com/trabajos88/deduccion-formulas-calcular-area-figuras-planas/deduccion-formulas-calcular-area-figuras-planas.shtml#readelromb