Si la solución única del sistema dado satisface la ecuación añadida, entonces el sistema resultante sigue teniendo esa única solución. en caso  contrario, queda incompatible. ahora bien, en ningún caso pasa a tener infinitas soluciones (compatible indeterminado).

Gracias. Igualmente.

¿Dónde te ponen estos ejercicios? 

Esto es lo que pude deducir y espero sea de ayuda, te dice que n>2, tomé un número cercano y el mas pequeño posible, el 3, reemplazando el valor en la inecuacion solo queda resolverlo, en el numerador, te queda una ecuación irreducible, ya que al igualarla a cero siempre será mayor a cero con cualquier valor de X y por ende, no tiene solución y no se incluye, los únicos posibles a incluir serían las raíces del denominador, que serían -2 y -1/4, al graficar y hacer el estudio de signos, decimos que X∈ ]-2,-1/4[ , para mi sería la B, pero no estoy seguro si escribirlo en ese orden sería correcto(es decir, el orden en el que está en la imagen), y si reemplazas los valores de n en la solucion B, te dan -1/4 y -2 respectivamente. (Descarto la opción A ya que no hay intervalos cerrados en la inecuacion).

Ya veo, muchísimas gracias. :) 

Comienza por plantear la expresión de la función derivada, a partir de la expresión en la ecuación de la curva, y observa que debes aplicar la regla de la cadena:

y ' = ( 1/tan(2x) )*( 1/cos²x) )*2;

luego, evalúas para la abscisa del punto de contacto, y tienes la pendiente de la recta tangente:

m_T = ( 1/tan(π/4) )*( 1/cos²(π/4) )*2 = (1/1)*( 1/( 1/√(2) )² )*2 = 1*2*2 = 4.

Luego, como la recta normal es perpendicular a la recta tangente en el punto de contacto, su pendiente queda:

m_N = -1/m_T = -1/4.

Luego, evalúas en la expresión de la curva, y la ordenada del punto de contacto queda:

y = ln( tan(2*π/8) ) = ln( tan(π/4) ) = ln(1) = 0,

por lo que el punto de contacto es: A(π/8,0).

Luego, plantea la ecuación punto-pendiente para la recta normal:

y - 0 = -(1/4)*(x - π/8), cancelas el término nulo en el primer miembro, distribuyes en el segundo miembro, y queda:

y = -(1/4)*x + π/32, multiplicas en todos los términos de la ecuación por 32, y queda:

32*y = -8*x + π, haces pasajes de términos, y queda:

8*x + 32*y - π = 0, que es la ecuación cartesiana implícita de la recta normal a la curva, en el punto de contacto.

Espero haberte ayudado.

Parece estar todo correcto.

Observa que los dominios de las funciones son:

D_f = [-3 , 3], por lo que sus elementos cumplen la condición: -3 ≤ x ≤ 3 (1);

D_g = R - {-3,3}, por lo que sus elementos cumplen la condición: x ≠ -3 y x ≠ 3 (2).

Luego, recuerda que los elementos del dominio de la funcion f compuesta con g (D_gof) cumplen dos condiciones:

1°)

x ∈ D_f, por lo que tienes que se cumple la condición señalada (1);

2°)

f(x) ∈ D_g, por lo que tienes que los elementos de la imagen de la función f deben cumplir con la condición señalada (2), por lo que puedes plantear:

f(x) ≠ -3 y f(x) ≠ 3, sustituyes la expresión de la función f, y queda:

√(9 - x²) ≠ -3 y √(x²-9) ≠ 3, elevas al cuadrado en ambos miembros en las dos igualdades negadas, y queda:

9 - x² ≠ 9, para ambas igualdades negadas;

luego, haces pasaje de término, y queda:

x² ≠ 0, haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

x ≠ 0 (2*).

Luego, tienes que los elementos del dominio de la función f compuesta con g cumplen con las condiciones señaladas (1) (2*), y queda:

D_gof = { x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 3 y x ≠ 0 } = [-3 , 0) ∪ (0 , 3].

Luego, la expresión de la función f compuesta con g queda:

(g o f)(x) = g( f(x) ) = g( √(9 - x²) ) = 2 / ( ( ( √(9 - x²) )² - 9 ) = 2 / (9 - x² -9) = 2/(-x²) = -2/x².

Con respecto al inciso (c):

observa que x = 4 no pertenece al dominio de la función f compuesta con g: 4 ∉ D_gof, 

por lo que no está definida la función f compuesta con g en este caso.

Luego, observa que si es posible evaluar la expresión de dicha función para x = 4 (y toma el valor: -2/4² = -2/16 = -1/8), por lo que se la puede redefinir,

y plantear la expresión de una nueva función:

h(x) =

-2/x²               si x ∈ [-3 , 0) ∪ (0 , 3]

-1/8                si x = 4,

y observa que ahora sí tienes que el elemento x = 4 pertenece al dominio de esta nueva función.

Luego, si debes extender todos los elementos que sea posible, puedes redefinir y plantear la expresión de una nueva función:

H(x) = -2/x², cuyo dominio es: D_H = R - {0}.

Espero haberte ayudado.