[(1+senx)+(1-senx)]/(1²-sen²x)=

2/(1²-sen²x)=

2/cos²x=

2sec²x

muchas gracias 

Por Gauss:

4.a)

log₂(1/32) + log₃∛(81) - log_e(1/e²)=

log₂(1/2⁵) + log₃∛(3⁴) - log_e(1/e²)=

log₂(1/2⁵) + log₃∛(3⁴) - log_e(e^-2)=

log₂(2^-5) + log₃(3⁴)^1/3 - log_e(e^-2)=

log₂(2)^-5 + log₃(3)^4/3 - log_e(e)^-2=

-5+ 4/3 -(-2)=

-5 + 4/3 + 2=

(-15+4+6)/3=

-5/3

4.b)

logA=2log3 + 0.5log4 - 3log2

logA=log32 + log40.5 -  log23

logA=log32 + log2 -  log23

logA=log(32*2)/23

A= (32*2)/23

A= 32/22

A= 9/4

3.b) 1er ejercicio

[a√(a^-1)]÷[∛(1/a²)]=

(a*a^-1/2)÷ (1/a²)^1/3]=

a^1/2 ÷ [(1^1/3)/(a^2/3)]=

a^1/2*a^2/3=

a^1/2+2/3=

a^7/6

⁶√(a⁷)

3.c) 2º ejercicio

(√3+√2)²-(√3-√2)²=

(3+2+2√3√2) - (3+2-2√3√2)

5+2√3√2-5+2√3√2=

4√3√2= 

4√(3*2)=

4√6

3.b) 2º ejercicio

[⁴√(a³)*⁵√(a⁴) ]÷ √a =

(a^3/4*a^4/5)÷a^1/2 =

(a^3/4+4/5)÷a^1/2=

a^31/20÷a^1/2=

a^31/20-10/20=

a^21/20

tan²θ*(1/sen²θ)*(1/tan²θ)*sen²θ=

tan²θ*(1/tan²θ)*sen²θ*(1/sen²θ)=

tan²θ/tan²θ * sen²θ/sen²θ=

1  *  1=

1

∛(2* ⁴√8)=

(2* ⁴√8)^1/3=

(2* 8^1/4)^1/3=

2^1/3 * 8^1/12=

2^1/3 * (2³)^1/12=

2^1/3 *  2^1/4=

2^1/3+1/4=

2^7/12=

¹²√2⁷

https://www.unicoos.com/video/matematicas/2-bachiller/determinantes/calculo-de-determinantes/determinante-4x4-por-adjuntos-cofactores

Si fueran dependientes entonces u=(a,b)  y  v=(ka,kb)  para cierto escalar k. En tal supuesto, u·v=kaa+kbb=k(a^2+b^2)  distinto de 0, pues u y v no son nulos. En tal caso, no serían perpendiculares. 

Tienes dos vectores no nulos que son ortogonales, por lo tanto tienes que su producto escalar es igual a cero:

u • v  = 0 (1).

Luego, plantea el supuesto absurdo:

"los vectores u y v son dependientes", por lo que tienes que existe k ∈ R, k ≠ 0, tal que: v = k*u (2).

Luego, plantea el producto escalar del vector v por si mismo:

a)

v • v = |v|*|v|*cos(0) = |v|²*1 = |v|², que es distinto de cero, porque v es un vector no nulo (A).

b)

v • v = reemplazas la expresión señalada (2) en el primer factor, y queda:

= k * u • v = aplicas la propiedad asociativa en los dos últimos factores, y queda:

= k * (u • v) = reemplazas el valor señalado (1) en el segundo factor, y queda:

= k * 0 = 0 (B).

Luego, tienes que los resultados señalados (A) (B) son contradictorios,

por lo que se confirma que el supuesto es absurdo, y concluyes que los vectores son linealmente independientes.

Espero haberte ayudado.