¡Muchas gracias!

Discutir sistema con dos parámetros - Rouché

El 7: 

Tienes la expresión de la función:

f(x) = (x²  2)/√(x), expresas al denominador como una potencia, y queda:

f(x) = (x² - 2)/x^1/2, distribuyes el denominador, y queda:

f(x) = x²/x^1/2 - 2/x^1/2,

aplicas la propiedad de la división de potencias con bases iguales en el primer término, aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el segundo término, y queda:

f(x) = x^3/2 - 2x^-1/2;

luego, derivas término a término (observa el coeficiente en el segundo término), y queda:

df/dx = (3/2)x^1/2 + x^-3/2,

extraes factor común ( (1/2)x^-3/2 ), y queda:

df/dx = (1/2)x^-3/2(x² + 2),

aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el segundo factor, y queda:

df/dx = (1/2)(x² + 2)/x^3/2,

expresas al exponente como una suma entre un número entero y un número fraccionario positivo menor que uno, y queda:

df/dx = (1/2)(x² + 2)/x^1+1/2, 

aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales en el denominador, y queda:

df/dx = (1/2)(x² + 2)/(x*x^1/2),

expresas al segundo factor del denominador como una raíz, y queda:

df/dx = (1/2)(x² + 2)/( x*√(x) ),

expresas como una expresión fraccionaria única, y queda:

df/dx = (x² + 2)/( 2x*√(x) ).

Espero haberte ayudado.

Planteas la expresión del valor de la función para el punto en estudio, y queda:

f(0,0) = 0 (1).

Antes de continuar, observa que tienes: f(h,0) = 0;

luego, planteas la expresión de la derivada parcial de la función con respecto a x según la definición, y queda:

f_x(0,0) = Lím(h→0) ( f(0+h,0) - f(0,0) )/h = sustituyes valores = Lím(h→0) (0 - 0)/h = Lím(h→0) 0/h = 0 (2).

Antes de continuar, observa que tienes: f(0,k) = 0;

luego, planteas la expresión de la derivada parcial de la función con respecto a y según la definición, y queda:

f_y(0,0) = Lím(k→0) ( f(0,k) - f(0,0) )/k = sustituyes valores = Lím(k→0) (0 - 0)/k = Lím(k→0) 0/k = 0 (3).

Luego, planteas la expresión de la definición de diferenciabilidad para el punto en estudio, y queda:

f(0+h,0+k) = f(0,0) + f_x(0,0)*h + f_y(0,0)*k + ε(h,k)*(h²+k²)^1/2,

cancelas términos nulos en el argumento de la función en el primer miembro, reemplazas los valores señalados (1) (2) (3), y queda:

f(h,k) = 0 + 0*h + 0*k + ε(h,k)*(h²+k²)^1/2,

sustituyes la expresión evaluada de la función en el primer miembro, cancelas términos nulos en el segundo miembro, y queda:

(h²k+kh²)/(h²+k²) = ε(h,k)*(h²+k²)^1/2,

extraes factor común en el numerador del primer miembro, y queda:

hk(h²+k²)/(h²+k²) = ε(h,k)*(h²+k²)^1/2,

simplificas el primer miembro, y queda:

hk = ε(h,k)*(h²+k²)^1/2,

divides por (h²+k²)^1/2 en ambos miembros, y luego despejas:

ε(h,k) = hk/(h²+k²)^1/2;

luego, planteas la expresión del límite de la expresión de esta función cuando los incrementos (h y k) tienden a cero, y queda:

Lím( (h,k)→(0,0) ) ε(h,k) = 

= Lím( (h,k)→(0,0) ) hk/(h²+k²)^1/2 = 0,

y puedes demostrarlo con el Teorema de Acotación:

0 ≤ |ε(h,k) - L| = |hk/(h²+k²)^1/2 - 0| = |hk/(h²+k²)^1/2| =

= |h|*|k/(h²+k²)^1/2| ≤ (observa que el segundo factor es menor o igual que uno ≤ |h|*1 = |h|, 

y como tienes que esta última expresión tiende a cero cuando los incrementos tienden a cero, entonces puedes concluir que el límite remarcado es válido.

Luego, puedes concluir que la función cuya expresión tienes en tu enunciado es diferenciable en el punto (0,0).

Espero haberte ayudado.

Vas bien hasta tu quinta línea, que te ha quedado:

(senx + cosx - sen³x - cos³x)/(senx + cosx) =

ordenas términos en el numerador, y queda:

= (cosx - cos³x + senx - sen³x)/(senx + cosx) =

extraes factores comunes por grupos de dos términos en el numerador, y queda:

= ( cosx*(1 - cos²x) + senx*(1 - sen²x) )/(senx + cosx) =

aplicas la identidad trigonométrica del cuadrado del seno en el primer agrupamiento del numerador, aplicas la identidad trigonométrica del cuadrado del coseno en el segundo agrupamiento del numerador, y queda:

= ( cosx*sen²x + senx*cos²x )/(senx + cosx) =

extraes factores comunes en el numerador, y queda:

= cosx*senx*(senx + cosx)/(senx + cosx) =

simplificas, y queda:

= cosx*senx.

Espero haberte ayudado.

Espero haberte ayudado.