¿Puedes precisar en qué consiste el ejercicio?
Porque, por lo que veo se trata de limites de sucesiones, donde n=1, 2, 3, .....

En el a) diría que  inf/inf^înf/inf es una indeterminación donde m > n

para b) diría que  -inf/inf = 0 por que n > m

para c) diría que  -inf/inf = 0 por que n >m

Pero, tendría que representar la gráfica dando valores a a x, 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3 etc ?

Lo que no veo muy claro es, ¿Cómo saber si dar valores a X en vez de 0,1, -1, 2, -2 ... darle -10, -100, -1000...?

No me has entendido. ¿Qué  hay que hacer? ¿Cuál es el enunciado inicial?

El primer límite es un caso de indeterminación de tipo 1^(+inf)

El segundo vale  -6.

El tercero vale  -2.

No consigo cargar desde anoche la foto con los ejercicios resueltos.

Tenía razón, esos son los resultados y no se resuelve por sucesión.

Sobre la bandera roja, lo siento pero apreté sin querer y ahora no puedo retornarlo.

Ánimos para usted también, aprendemos de usted.

Tienes las ecuaciones de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares:

x = r*cosθ

y = r*senθ

sustituimos la expresión de r en función de θ y quedan:

x = ( 3 + cos(3θ) )*cosθ, cuya derivada queda: dx/dθ = -3sen(3θ)*cosθ - ( 3 + cos(3θ) )*senθ,

y = ( 3 + cos(3θ) )*senθ, cuya derivada queda: dy/dθ = -3sen(3θ)*senθ + ( 3 + cos(3θ) )*cosθ,

luego, evaluamos las derivadas para θ = π/2 y quedan:

dx/dθ = -3*(-1)*0 - ( 3 + 0 )*(-1) = 0 + 3 = 3,

dy/dθ = -3*(-1)*1 + ( 3 + 0 )*0 = 3 + 0 = 3;

luego planteamos para la pendiente de la recta tangente:

m = dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = 3/3 = 1.

Espero haberte ayudado.

a)

Tienes la ecuación de la familia de curvas:

y = k*e^x, luego derivamos con respecto a x (lo que nos conduce a las pendientes de las rectas tangentes) y queda:

y ' = k*e^x, luego observa la relación:

y ' = y;

luego planteamos para la familia de trayectorias ortogonales (recuerda la relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares):

y ' = -1/y, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

y*y ' = -1, escribimos a la derivada como cociente de diferenciales y queda:

y*dy/dx = 1, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

y*dy = - dx, integramos miembro a miembro y queda:

(1/2)*y² = - x + c, multiplicamos por 2 en todos los términos de la ecuación y queda:

y² = - 2x + 2c, renombramos a la constante arbitraria 2c = C y queda:

y² = - 2x + C, que es una ecuación cartesiana implícita de la familia de trayectorias ortogonales, luego hacemos pasaje de potencia como raíz y queda :

y = √(- 2x + C), que es la ecuación cartesiana explícita de la familia de trayectorias ortogonales.

b)

Tienes la ecuación de la familia de curvas:

y =e^kx, luego tomamos logaritmos naturales en ambos miembros y queda:

ln(y) = kx, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

ln(y)/x = k, derivamos con respecto a x en ambos miembros y queda:

( (1/y)*y ' * x - ln(y)*1 )/x² = 0, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

(1/y)*y ' * x - ln(y) = 0, multiplicamos por y en todos los términos de la ecuación y queda:

x*y ' - y*ln(y) = 0, hacemos pasaje de término y queda:

y ' = y*ln(y)/x;

luego planteamos para la familia de trayectorias ortogonales (recuerda la relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares):

y ' = - x / y*ln(y), escribimos a la derivada como cociente de diferenciales y queda:

dy/dx = - x / y*ln(y), hacemos pasajes de divisores como factores y queda:

ln(y)*y*dy = - x*dx, integramos en ambos miembros (con el método de integración por partes en el primer miembro) y queda:

(1/2)*y²*ln(y) - (1/4)*y² = - (1/2)*x² + c, multiplicamos por 4 en todos los términos de la ecuación y queda:

2y²*ln(y) - y² = - 2x² + 4c, renombramos a la constante arbitraria 2c = C y queda:

2y²*ln(y) - y² = - 2x² + C, que es la ecuación cartesiana implícita de la familia de trayectorias ortogonales,

y observa que no es posible obtener una ecuación explícita.

Luego, observa que la tarea consiste en eliminar la constante característica de la familia de curvas (k) entre su ecuación y la ecuación de su derivada, para luego plantear la condición de perpendicularidad, para terminar integrando.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias a ambos!!