Es una errata, Yasmin:

Hola Vladimir,

desde unicoos no resolvemos vuestros ejercicios, sino que os ayudamos con las dudas concretas que os surjan durante la resolución.

Inténtalo, y te ayudaremos con las dudas que te surjan. El trabajo duro debe ser el vuestro.

Un saludo,

Vlad

a) 5 por si solo es un elemento y por tanto se puede establecer con él una relación de pertenencia, por eso decimos que 5∈Z.  (el elemento 5 pertenece al conjunto Z)

b) La relación de inclusión "⊂" (contenido en...) se establece entre conjuntos. Z es un conjunto, pero 5 no es un conjunto, es un elemento por lo cual no es correcto 5⊂Z . 

c) Sin embargo {5} es el conjunto que tiene un solo elemento: 5; por eso podemos decir que {5}⊂Z  (el conjunto {5} está contenido en el conjunto Z) porque ambos son conjuntos.

A ver si te ayudo con este desarrollo, para visualizar mejor las formas de las gráficas de las funciones exponenciales.

Observa que tienes dos situaciones:

1°)

Si a es mayor estrictamente que 1:

a > 1, entonces tienes que las potencias con exponentes positivos (x > 0) de a toman valores positivos cada vez más grandes a medida que aumentan los valores de x, por lo que tienes que la función exponencial es creciente en este caso.

2°)

Si a está estrictamente comprendido entre 0 y 1:

0 < a < 1, entonces tienes que las potencias con exponentes positivos (x > 0) de a toman valores positivos cada vez más pequeños a medida que aumentan los valores de x, por lo que tienes que la función exponencial es decreciente en este caso.

Puedes apelar a las tablas de valores de las funciones cuyas expresiones son:

f(x) = 2^x,

g(x) = (1/2)^x,

a fin de verificar lo que hemos propuesto.

Espero haberte ayudado.

Si a >1 la función es creciente.  Si 0<a<1   es decreciente.

Tienes la ecuación diferencial:

(y*cosx + 2x*e^y) + (senx + x²*e^y + 5)*dy/dx = 0;

luego, presentas la ecuación en función de los diferenciales de las variables por separado, y queda:

(y*cosx + 2x*e^y)*dx + (senx + x²*e^y + 5)*dy = 0.

Luego, observa que la derivada parcial del primer factor del primer término (M) con respecto a y queda:

M_y = cosx + 2x*e^y (1).

Luego, observa que la derivada parcial del primer factor del segundo término (N) con respecto a x queda:

N_x = cosx + 2x*e^y (2).

Luego, como tienes que las expresiones señalada (1) (2) son iguales, y corresponden a una función continua con derivadas parciales primeras continuas, puedes plantear que las derivadas parciales de la función solución son:

f_x = M, 

f_y = N;

luego, sustituyes expresiones, y queda el sistema:

f_x = y*cosx + 2x*e^y (3),

f_y = senx + x²*e^y + 5 (4);

luego, integras parcialmente con respecto a x en ambos miembros de la ecuación señalada (3), y queda:

f(x,y) = y*senx + x²*e^y + A(y) (5),

derivas en ambos miembros de esta ecuación con respecto a y, y queda:

f_y = senx + x²*e^y + A_y,

sustituyes la expresión señalada (4) en el primer miembro, y queda:

senx + x²*e^y + 5 = senx + x²*e^y + A_y,

y de aquí despejas:

A_y = 5,

integras con respecto a y en ambos miembros, y queda:

A(y) = 5*y + C,

sustituyes esta expresión en la expresión de la función señalada (5), y queda:

f(x,y) = y*senx + x²*e^y + 5*y + C,

que es la expresión de la solución general de la ecuación diferencial exacta que tienes en tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Todas la tangentes forman ángulo recto con el radio de la circunferencia

Vamos con una orientación, que espero te sea útil.

Planteas el sistema de ecuaciones, con la ecuación general de una parábola que pasa por el origen de coordenadas y la ecuación de la recta que tienes en tu enunciado, y queda:

y = a*x² + b*x,

y = m*x + n;

luego, igualas expresiones, y queda la ecuación:

a*x² + b*x = m*x + n, restas m*x y restas n en ambos miembros, y queda:

a*x² + b*x - m*x - n = 0, extraes factor común entre los dos términos lineales, y queda:

a*x² + (b - m)*x - n = 0 (1), 

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyo discriminante tiene la expresión:

D = (b - m)² + 4*a*n,

luego planteas la condición de solución única (recuerda que la recta es tangente a la parábola, por lo cuál sabes que ambas curvas tienen un punto único en común), y queda:

D = 0, sustituyes la expresión del discriminante en el primer miembro, y queda:

(b - m)² + 4*a*n, y de aquí despejas:

a = -(b - m)²/(4*n) (2),

que es la expresión del coeficiente principal de la ecuación de la parábola, en función del coeficiente de su término lineal y de los coeficientes de la ecuación de la recta que tienes en tu enunciado.

Luego, planteas la expresión de la solución única de la ecuación polinómica cuadrática señalada (1), y queda:

x = -(b - m)/(2*a), sustituyes la expresión señalada (2), simplificas, resuelves, y queda:

x = 2*n/(b - m) (3).

Luego, tienes la condición que cumple la abscisa del punto de intersección de la parábola con su recta tangente:

x < A, sustituyes la expresión señalada (3), y queda:

2*n/(b - m) < A (4),

que es la condición que debe cumplir el coeficiente del término lineal de la ecuación de la parábola.

Luego, queda que reemplaces valores conocidos (m, n y A) en la ecuación señalada (2) y en la inecuación señalada (4), y resuelvas el sistema compuesto por dicha ecuación y dicha inecuación.

Espero haberte ayudado.

Debes tener en cuenta que la forma que empleas para expresar los resultados no es correcta, con respecto a la notación.

Luego, vamos con las respuestas que debes corregir:

e)

Lím(x→∞) ( f(x) )^-x = Lím(x→∞) 1/( f(x) )^x = 0, ya que el numerador es constante y el denominador tiende a infinito.

f)

Lím(x→∞) u(x)^f(x) es indeterminado, ya que la base de la potencia tiende a cero y el exponente tiende a infinito.

k)

Lím(x→∞) ( f(x) )^h(x) = Lím(x→∞) 1/( f(x) )^-h(x) = 0, ya que el numerador es constante y el denominador tiende a infinito.

l)

Lím(x→∞) ( h(x) )^h(x) = Lím(x→∞) 1/( h(x) )^-h(x) = 0, ya que el numerador es constante y el denominador tiende a ±infinito.

m)

Lím(x→∞) ( -h(x) )^h(x) = Lím(x→∞) 1/( -h(x) )^-h(x) = 0, ya que el numerador es constante y el denominador tiende a infinito.

o)

Lím(x→∞) h(x)/u(x) = -∞, ya que el numerador tiende a -infinito y el denominador tiende a una constante positiva.

p)

Lím(x→∞) x^-x = Lím(x→∞) 1/x^x = 0, y que el numerador es constante y el denominador tiende a infinito.

Espero haberte ayudado.