Cuidado... sobra el factor 1/√3 en la solución. porque al integrar el arcosen hay que multiplicar por la inversa de la derivada del argumento del arcosen, en este caso hay que multiplicar por √3 que se va por simplificación con el 1/√3 . Otra forma de comprobar que no está bien es derivando el resultado.
Supongamos que hay dos soluciones positivas distintas x1 ≠ x2 : x12 = a y x22 =a ; x12 - x22 = 0 ; (x1 +x2 )( x1 -x2 ) =0 ; x1 +x2 >0 (por ser ambas positivas), x1 -x2 = 0 ; x1 = x2 lo que contradice el hecho de que son distintas. Por tanto solo hay una sol. positiva.
Si uno de ellos es cero, la demostración es trivial. Supongamos que x, y positivos. Tomamos la ecuación en z, z2 = x.y, por el resultado de antes la sol es única: √xy. Por otra parte sabemos que (√x.√y)2 = x.y, entonces √x.√y es solución de la ecuación z2 = x.y. Como tal solución es única (porque lo hemos demostrado antes), resulta que √xy = √x.√y