Ejercicio 12:

Ejercicio 13

No se halla sustituyendo en la función de densidad como haces tú, sino que se sustituye en la función de distribución:

Tienes dos formas más de hacerlo: 

1ª) Tienes que saber hallar la función de distribución a partir de la función de densidad. (para eso hay que integrar)

2º) Si la función de densidad es una recta, como en este caso, se puede hacer gráficamente calculando el área de un polígono mediante su fórmula.

Planteas la condición que cumple una función de densidad de probabilidad, recuerda que debe tomar valores positivos, y queda:

_-∞∫^+∞ f(x)*dx = 1, y como tienes que la función toma valores distintos de cero en el intervalo[1,3], tienes que la integral del primer miembro queda:

₁∫³ f(x)*dx = 1, sustituyes la expresión general de la función para el intervalo indicado que tienes en tu enunciado, y queda:

₁∫³ ([1/2]*x + k)*dx = 1, integras (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

[ (1/4)*x² + k*x ] = 1, evalúas, y queda:

( (9/4) + 3*k ) - ( (1/4) + k ) = 1, distribuyes agrupamientos y reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

2*k + 2 = 1, y de aquí despejas: k = -1/2;

luego, reemplazas este valor remarcado en la expresión de la función de densidad de probabilidad que tienes en tu enunciado, y queda:

f(x) =

(1/2)*x - 1/2             si 1 ≤ x ≤ 3,

0                                en cualquier otro caso.

Luego, tienes para la probabilidad de tu enunciado:

p(2,5 ≤ x ≤ 3) =

= _2,5∫³ f(x)*dx = sustituyes la expresión de la función de densidad de probabilidad, y queda:

= _2,5∫³ ( [1/2]*x - 1/2 )*dx = extraes factor común escalar, y queda:

= _2,5∫³ ( [1/2]*[x - 1] )*dx = extraes el factor escalar, y queda:

= (1/2) * _2,5∫³ (x - 1)*dx = integras (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= (1/2) * [ (1/2)*x² - x ] = evalúas, y queda (observa que expresamos a los números en forma fraccionaria):

= (1/2) * ( (9/2 - 3) - (25/8 - 5/2) ) = resuelves agrupamientos en el segundo factor, y queda:

= (1/2) * ( 3/2 - 5/8 ) = resuelves el segundo factor, y queda:

= (1/2) * ( 7/8 ) = resuelves, y queda:

= 7/16,

por lo que puedes concluir que la opción señalada (D) es la respuesta correcta.

Y también tienes otra forma para plantear y resolver el problema:

haces la gráfica de la función densidad de probabilidad para el intervalo de interés: 2,5 ≤ x ≤ 3,

y observa que es un segmento incluido en el primer cuadrante, al que al proyectarlo sobre el eje OX determina un trapecio rectangular,

cuya base menor (segmento vertical de la izquierda) mide: b = 3/4, cuya base mayor (segmento vertical de la derecha) mide: B = 1, y cuya altura (segmento determinado sobre el eje OX) mide: h = 1/2;

luego, puedes plantear que la integral de probabilidad es igual al área del trapecio determinado por la gráfica de la función y el eje OX para el intervalo de interés, por lo que tienes (recuerda la expresión del área de un trapecio):

p(2,5 ≤ x ≤ 3) =

= (1/2)*(B + b)*h = reemplazas los valores remarcados, y queda:

= (1/2)*(3/4 + 1)*(1/2) = resuelves el segundo factor, y queda:

= (1/2)*(7/4)*(1/2) = resuelves, y queda:

= 7/16.

Espero haberte ayudado.

Cambiamos entonces:

como log3(4-2) = log3(2)

y log3(4) = log3(2²) = 2*log3(2)

tenemos que:

log3(4) / log3(4-2)  = 2*log3(2) / log3(2) = ...

simplificando 

... = 2

Por lo tanto tenemos que: log3(4) / log3(4-2) = 2

En primer lugar debemos hallar el valor de k, para ello aplicamos que el área bajo la curva (función de densidad) debe ser igual a 1

para en segundo lugar calcular la probabilidad que se pide

Lo vamos a hacer por pasos:

como log3(4-2) = (-2)*log3(4)

tenemos que:

log3(4) / log3(4-2)  = log3(4) / [(-2)*log3(4)] = ...

simplificando 

... = 1 / (-2) = -1/2

Por lo tanto tenemos que: log3(4) / log3(4-2) = -1/2

por otro lado:

como 9=3² y 1/3=3^-1

tenemos que:

log5(9) / log5(1/3) = log5(32) / log5(3-1) = ...

y como log5(32) = 2*log5(3) y  log5(3-1) = (-1)*log5(3)

... = 2*log5(3) / [-1*log5(3)] = ...

simplificando

... = 2 / (-1) = -2

Por lo tanto tenemos que: log5(9) / log5(1/3) =  -2

por otro lado, tenemos que:

log7/3([(5/9)*x - 1]4) = 4*log7/3([5/9]*x - 1)

Ahora bien, volviendo al principio y sustituyendo lo que está en negrita tenemos:

-1/2 - 2 = 4*log7/3([5/9]*x - 1)

-5/2 = 4*log7/3([5/9]*x - 1)

(-5/2)/4 = 4*log7/3([5/9]*x - 1)/4

-5/8 = log7/3([5/9]*x - 1)

aplicamos la definición de logaritmo:

(7/3)-5/8 = (5/9)*x - 1

(3/7)5/8 = (5/9)*x - 1

(3/7)5/8 + 1 = (5/9)*x

y despejamos la x

x = (9/5)*((3/7)5/8 + 1).

Espero haberte aclarado tus dudas.

Para el punto en estudio: A(1,0), puedes plantear las expresiones de las funciones derivadas parciales (observa que este punto pertenece al sector del dominio de la función donde es válida la primera expresión de la función, y que puedes aplicar la Regla de Derivación para una División de Funciones), y queda:

f_x(x,y) = [ 3x²*(x² + y²) - (x³ - y³)*2x ] / (x² + y²)² = (x⁴ + 3x²y² - 2xy³) / (x² + y²)²,

f_y(x,y) = [ -3y²*(x² + y²) - (x³ - y³)*2y ] / (x² + y²)² = (-y⁴ - 3x²y² - 2x³y) / (x² + y²)²,

y observa que ambas expresiones son continuas en R - {(0,0)} (observa que tienes dos expresiones que son divisiones entre funciones continuas, y cuyos denominadores no toman el valor cero en el conjunto mencionado),

luego, recuerda el Teorema que seguramente has estudiado en clase:

"si fx(x,y) y fy(x,y) son continuas en un punto A(x0,y0) perteneciente al dominio de la función, entonces f(x,y) es diferenciable en dicho punto",

por lo que tienes que la función es diferenciable en R - {(0,0)} y, por lo tanto, puedes concluir que la función es diferenciable en tu punto en estudio: A(1,0), que es un punto perteneciente a R - {(0,0)}.

Espero haberte ayudado.

Calculemos la función que relaciona espacio (m) recorrido por el dron y ángulo (rad) del reflector, para ello usaremos trigonometría:

e(θ)=500 tanθ

por otro lado, calculemos la función que relaciona ángulo (rad) del reflector con el tiempo (seg), considerando t=0 cuando el dron se encuentra sobre la perpendicular del reflector:

θ(t)=t/20

ahora, pasamos los grados a radianes:

θ_o=60º=π/3 rad 

calculamos cuanto tiempo debe pasar para que el dron alcance esa posición:

t_o=20π/3 seg

ya podemos calcular la velocidad:

v(t)=de/dt=de/dθ · dθ/dt = 500/cos²θ · 1/20

y por último, sustituimos:

v(20π/3)= 500/cos²(π/3) · 1/20 = 100 m/seg

Muchas gracias Antonio, muy bien explicado

A ver, cuando tipificas obtienes un valor Z para buscar en la tabla. Tienes mal la obtención de ese valor, mira como es:

P(x>30)=P(z>(30-18/3)=P(z>4)=1-P(z<4)

vas a la tabla N(0,1) y obtienes P(z<4)=1

1-1=0, que es la probabilidad que te piden. 

N(18,3)     X>30, al tipificar da   Z> (30-18)/3 =4         P(X>30) = P(Z>4) = 1-P(z≤4) = 1- 0,9999999... = 0.00000...1    Que en la práctica es 0. En teoría no es 0, ya que P(Z<a)=0   cuando a tiende a -∞ . Por lo tanto yo diría que la afirmación es falsa

Jose, en la práctica, hay profes que consideran como cero el valor tipificado. Y es más lógico y más cierto lo que dices, pero a ese razonamiento en 2 de bachillerato en muchos casos se va del nivel del curso, que Manuel tenga en cuenta ambas soluciones. 

De acuerdo con tu reflexión.

Lo he repasado varias veces y me da un resultado diferente de todas las posibles soluciones.

revisa k, que vale -1/2. Luego sale 0,4375, es decir, 7/16

Gracias David. 

Ahí va corregido:

el otro ejercicio