Muchas gracias

Gracias

En esta página tienes la demostración de ésta y otras desigualdades.

http://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/SeminarioBachillerato/resoluciondesigualdadesjoseluisdiaz.pdf

1)

Planteas que el número de ovejas es N, y observa que al dividir entre los números naturales desde 1 hasta 10 inclusive tienes que los restos son todos iguales a uno, por lo que tienes que los cocientes deben ser números naturales múltiplos del divisor correspondiente en cada caso.

Luego, si llamas x al cociente obtenido al dividir por 2 (observa que es el máximo entre todos los cocientes), puedes plantear:

- que x es múltiplo de 8 (y, por lo tanto, también lo es de 2 y de 4),

- que x es múltiplo de 9 (y, por lo tanto, también lo es de 3, y también lo es de 6, ya que tienes planteado que es múltiplo de 2),

- que x es múltiplo de 5 (y, como ya tienes planteado que es múltiplo de 2, tienes también que es múltiplo de 10), 

- que x es múltiplo de 7.

Luego, tienes para el mínimo cociente:

x = 8*9*5*7 = 2520.

Luego, puedes concluir que la cantidad mínima de ovejas que cumple con las condiciones de tu enunciado es:

N = 2520 + 1 = 2521.

2)

Puedes llamar p al precio de un barril, y puedes llamar y al impuesto para un barril.

Luego, tienes para el impuesto por cada barril que paga el primer comerciante:

y = (5x + 40)/64 (1).

Luego, tienes para el impuesto por cada barril que paga el segundo comerciante:

y = (2x - 40)/20 (2).

Luego, igualas la expresiones señaladas (2) (1), y queda la ecuación:

(2x - 40)/20 = (5x + 40)/64, multiplicas por 320 (observa que es el mínimo común múltiplo entre los denominadores) en ambos miembros, y queda:

16(2x - 40) = 5(5x + 40), distribuyes en ambos miembros, y queda:

32x - 640 = 25x + 200, restas 25x y sumas 640 en ambos miembros, y queda.

7x = 840, divides por 7 en ambos miembros, y queda:

x = 120 euros;

luego, reemplazas el valor remarcado en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:

y = (5(120) + 40)/64 = (600 + 40)/64 = 640/64 = 10 euros,

y = (2(120) - 40)/20 = (240 - 40)/20 = 200/20 = 10 euros.

Espero haberte ayudado.

La respuesta está perfecta pero tengo una pregunta que espero me hagas el favor de resolver. 

En el primer problema que resolviste ¿Por qué usamos ese método? ¿Hay alguna razón en especifico o algo? 
El problema es que debo justificar cada paso en la solución y quisiera  justificar porque se uso el método que me muestras. 

te agradezco mucho tu ayuda. 

Observa que el índice de la suma infinita es n, y que lo tienes como exponente en el denominador de su argumento, por lo que puedes considerar que el numerador es constante, por lo que lo extraes de la suma, y queda:

S = (k-1) * ∑(n=1,∞) ( 1/kⁿ ), y observa que k debe ser distinto de cero;

luego, expresas al argumento como una potencia con exponente natural, y queda:

S = (k-1) * ∑(n=1,∞) (1/k)ⁿ,

extraes el factor (1/k) fuera de la suma, y queda:

S = (k-1)*(1/k) * ∑(n=1,∞) (1/k)^n-1;

luego, observa que la expresión remarcada corresponde a una suma geométrica (revisa tus apuntes de clase si es necesario) cuya razón es 1/k, por lo que la expresión de la suma de tu enunciado queda:

S = (k-1)*(1/k) * ( 1/(1-1/k) ), con |1/k| < 1,

luego, resuelve el producto de los dos primeros factores, resuelves el agrupamiento en el denominador del tercer factor, y queda:

S = ( (k-1)/k ) * ( 1/((k-1)/k ),

resuelves el segundo factor, y queda:

S = ( (k-1)/k ) * ( k/(k-1) ),

simplificas, y queda: 

S = 1;

y observa que debe cumplirse la condición subrayada:

|1/k| < 1, distribuyes el valor absoluto, resuelves el numerador, y queda:

1/|k| < 1, multiplicas en ambos miembros por |k| (recuerda que k no debe ser igual a cero), y queda:

1 < |k|, escribes esta inecuación tal como la puedes leer de derecha a izquierda, y queda:

|k| > 1.

Espero haberte ayudado.

Puedes comenzar por plantear la expresión del primer elemento de la progresión:

a₁ = ( 1-√(2) )/2 + (1-1)*√(2)/2 = ( 1-√(2) )/2 + 0*√(2)/2 = ( 1-√(2) )/2 + 0 = ( 1-√(2) )/2.

Luego, puedes plantear la resta entre el elemento general siguiente y el elemento general de la progresión, que si es igual a una constante, tienes que esta constante es la diferencia de la progresión:

a_i+1 - a_i = [ ( 1-√(2) )/2 + (i+1-1)*√(2)/2 ] - [ ( 1-√(2) )/2 + (i-1)*√(2)/2 ],

resuelves el coeficiente en el segundo término del primer agrupamiento, y queda:

a_i+1 - a_i = [ ( 1-√(2) )/2 + i*√(2)/2 ] - [ ( 1-√(2) )/2 + (i-1)*√(2)/2 ], 

distribuyes agrupamientos, y queda:

a_i+1 - a_i = ( 1-√(2) )/2 + i*√(2)/2 - ( 1-√(2) )/2 - (i-1)*√(2)/2 ], 

cancelas términos opuestos, y queda:

a_i+1 - a_i = i*√(2)/2 - (i-1)*√(2)/2,

extraes factor común, y queda:

a_i+1 - a_i = ( i - (i-1) )*√(2)/2,

distribuyes en el primer factor, y queda:

a_i+1 - a_i = ( i - i + 1) )*√(2)/2,

cancelas términos opuestos en el primer factor, resuelves, y queda:

a_i+1 - a_i = √(2)/2 = d,

que es la diferencia entre un elemento y su inmediato anterior en la progresión aritmética.

Espero haberte ayudado.

Gracias por tu ayuda Antonio, entendí la idea que planteas en este ejercicio. Saludos

Tienes la expresión algebraica parcialmente factorizada:

2x*(2x-1) + 3*(2x-1) =

extraes factor común, y queda:

= (2x+3)*(2x-1) =

conmutas factores, y queda:

= (2x-1)*(2x+3).

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Observa que las rectas son alabeadas (no son paralelas y no se cortan, y te dejo la tarea de demostrarlo).

Luego, planteas el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, y queda:

n = <1,2,3> x <1,1,1> = <-1,2,-1>.

Luego, con un punto de la recta L₂, por ejemplo: A(0,3,0) y este vector, planteas la ecuación cartesiana implícita del plano que contiene a dicha recta y es paralelo a la recta L₁, y queda:

-1*(x-0) + 2(y-3) -1*(z - 0) = 0,

distribuyes en todos los términos, cancelas términos nulos, y queda:

-x + 2y - z - 6 = 0,

multiplicas en todos los términos por -1, y queda:

x - 2y + z - 6 = 0 (1).

Luego, considera un punto de la recta L1, por ejemplo: B(0,0,0), y solo queda que calcules su distancia al plano cuya ecuación está señalada (1), como seguramente has visto en clase.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.