El último te lo dejo a ti ya está dscompuesta la figura

Observa que la integral no se puede resolver si planteas a x como la primera variable, por lo que conviene explorar la opción de invertir el orden de integración.

Tienes, a partir de los limites de integración, que la región de integración (R) queda descrita por la inecuación doble y por la desigualdad doble:

2y ≤ x ≤ 4,

0 ≤ y ≤ 2;

y si haces un gráfico cartesiano, verás que la región es un triángulo, cuyos vértices son los puntos:

A(0,0), B(4,0) y C(4,2),

y verás también que la región está limitada "por debajo" por la recta que une los vértices A y B, que es el eje de abscias (OX), cuya ecuación es: y = 0;

y también verás que la región está limitada "por arriba" por la recta que une los vértices A y C, cuya ecuación es: y = (1/2)x.

Luego, puedes invertir el orden de integración, y la integral de tu enunciado queda:

I = ₀∫⁴₀∫^(1/2)x e^{x^2} * dy*dx,

extraes el factor constante para la primera variable de integración (y), y queda:

I = ₀∫⁴ e^{x^2} ₀∫^(1/2)x dy*dx,

resuelves la primera integral (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

I = ₀∫⁴ e^{x^2} [ y ]*dx,

evalúas, y queda:

I = ₀∫⁴ e^{x^2} * (1/2)x*dx,

extraes el factor constante, y queda:

I = (1/2) * ₀∫⁴ e^{x^2} * x*dx,

integras (observa que debes aplicar la sustitución (cambio de variable): w = x²), y queda (te dejo la tarea de resolver la integral, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):

I = (1/2) * [ (1/2)e^{x^2} ],

evalúas, y queda:

I = (1/2) * ( (1/2)e¹⁶ - 1/2 ) = (1/2)*(1/2)*( e¹⁶ - 1 ) = (1/4)*( e¹⁶ - 1 ),

que es la expresión que indica el colega Antonio.

Espero haberte ayudado.

Observa que un vector normal del plano π es: n = <1,-1,1>.

Observa que un punto genérico de la recta L queda expresado: M(1,3,q), con a ∈ R.

Luego, con las coordenaqdas del punto A(1,1,1) que pertenece a la recta buscada, puedes plantear la expresión de un vector director para ella:

u = AM = < 1-1 , 3-1 , q-1 > = < 0 , 2 , q-1 >.

Luego, como la recta buscada es paralela al plano π, puedes plantear que su vector director es perpendicular al vector normal al plano, y tienes:

n•u = 0, sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:

< 1 , -1 , 1 > • < 0 , 2 , q-1 > = 0, desarrollas la ecuación, cancelas el término nulo, y queda:

-2 + q - 1 = 0, sumas 3 en ambos miembros, y queda: q = 3;

luego, reemplazas en la expresión del vector director de la recta buscada, y queda:

u = < 0 , 2 , 2 >.

Luego, con las componentes del vector director de la recta (u), y con las coordenadas del punto que pertenece a ella que tienes en tu enunciado (A), puedes plantear las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta buscada:

x = 1 + 0*t,

y = 1 + 2*t,

z = 1 + 2*t,

con el parámetro: t ∈ R.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Puedes comenzar por expresar al número complejo en forma cartesiana binómica genérica:

z = x + y*i,

con x ∈ R e y ∈ R;

de donde tienes: 

z*z^c = (x + y*i)*(x - y*i) = x² + y² (1),

z² = (x + y*i)² = x²-y² + 2*x*y*i (2).

a)

Tienes que los puntos de la curva cumplen las condiciones:

-1 ≤ x < 3 (1),

x² + y² - (x²-y²) - 2*x = 2 (2).

Luego, distribuyes el agrupamiento de la ecuación señalada (2), reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), y queda:

2*y² - 2*x = 2, divides por 2 en todos los términos de la ecuación, y queda:

y² - x = 1, sumas x en ambos miembros, y queda:

y² = x + 1 (3),

que es la ecuación canónica de una parábola con vértice V(-1,0), eje de simetría coincidente con el eje OX, con sus ramas que se abren hacia los valores positivos.

Luego, y de acuerdo con la condición señalada (1), observa que tienes una trayectoria que corresponde a un arco de esta parábola, cuyos extremos abiertos son los puntos A(3,2) y B(-3,2).

b)

Luego, puedes definir la parametrización:

y = 2 - t, con el intervalo paramétrico: 0 < t < 4.

sustituyes en la ecuación señalada (3), y queda:

(2 - t)² = x + 1, desarrollas el binomio elevado al cuadrado, y queda:

4 - 4*t + t² = x + 1, restas 1 en ambos miembros, ordenas términos, y queda:

t² - 4*t + 3 = x, permutas miembros en la ecuación, y queda:

x = t² - 4*t + 3;

y observa que la trayectoria corresponde a recorrer la curva:

desde las inmediaciones del punto A(3,2) (al que le correspondería el valor paramétrico t = 0),

pasando por el vértice V(-1,0) (al que le corresponde el valor paramétrico: t = 2),

hasta las inmediaciones del punto B(-3,2) (al que le corresponde el valor paramétrico: t = 4).

Queda que presentes las ecuaciones cartesianas paramétricas y su intervalo paramétrico en forma ordenada.

Espero haberte ayudado.

Corregimos erratas.

Los vértices abiertos de la trayectoria son:

A(3,2) y B(3,-2).

https://matrixcalc.org/es/#diagonalize%28%7B%7B2,0%7D,%7B0,-1%7D%7D%29

Observa que tienes que los sucesos son independientes, por lo que puedes plantear:

p(A∩B) = p(A)*p(B) = 0,6*0,2 = 0,12.

Luego, puedes plantear para la unión de los dos sucesos:

p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0,6 + 0,2 - 0,12 = 0,68.

Luego, puedes plantear para la unión de los sucesos complementarios:

p(A^c∪B^c) = aplicas la Ley de De Morgan para la unión de sucesos complementarios

= p( (A∩B)^c ) = 

= 1 - p(A∩B) = 

= 1 - 0,12 = 0,88.

Luego, puedes plantear para la intersección de los sucesos complementarios:

p(A^c∩B^c) = aplicas la Ley de De Morgan para la intersección de sucesos complementarios:

= p( (A∪B)^c ) =

= 1 - p(A∪B) =

= 1 - 0,68 = 0,32.

Luego, puedes plantear para la intersección entre el suceso complementario de A y el suceso B:

p(A^c∩B) = aplicas la definición de diferencia entre dos conjuntos:

= p(B-A) = expresas a la probabilidad de la diferencia en función de la unión y de la intersección:

= p(B) - p(A∩B) = 

= 0,2 - 0,12 = 0,08.

Luego, puedes plantear para la probabilidad condicional del suceso complementario de A dado que ocurre el suceso B:

p(A^c/B) = aplicas la definición de probabilidad condicional:

= p(A^c∩B)/p(B) = reemplazas valores (observa el ejercicio anterior:

= 0,08/0,2 = 0,04.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias me dió el mismo resultado!!!

Volumen de revolución - Método de las arandelas