A ver si es eso

Creo que es esto lo que buscas:

https://www.unicoos.com/video/matematicas/2-eso/ecuaciones/resolucion-de-problemas/plantear-ecuaciones-mezclas-y-ley

en ese caso el resultado es directo e los teoremas. Hechale un ojo a la imagen:

Por favor, envía foto del enunciado para que podamos ayudarte.

Establece un sistema cartesiano con origen en el centro de la elipse, con eje OX paralelo al piso, y eje OY perpendicular al piso, y observa que tienes los elemento de la semielipse:

centro de simetría: C(0,0),

eje focal: x = 0 (eje OX),

vértice principal: A(0,4),

vértices secundarios: B₁(-1,0) y B₂(1,0),

y observa que los semiejes miden:

a = 4 (semieje mayor),

b = 1 (semieje menor);

y observa que la ecuación canónica de la elipse queda:

x² + y²/4 = 1, multiplicas por 4 en todos los términos, y queda:

4*x² + y² = 4, restas 4*x2 en ambos miembros, y queda:

y² = 4 - 4*x², extraes factor común, y queda:

y² = 4*(1 - x²),

extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

y = 2*√(1 - x²) (1), que es la ecuación de la semielipse.

Luego, dibujas el frente de la caja, y observa que sus vértices sobre el eje OX son simétricos con respecto al origen, por lo que puedes plantear que sus expresiones son:

M₁(-x,0) y M₂(x,0),

y observa que la distancia entre ellos, que es la longitud de la base de la caja, queda:

b = 2*x (1);

luego, observa que los otros dos vértices se encuentran en la semielipse, y que son simétricos con respecto al eje OY, por lo que puedes plantear que sus expresiones son:

N₁( -x,2*√(1 - x²) ) y N₂( x,2*√(1 - x²) ),

y observa que la distancia entre cada uno de ellos y el eje OY, que es la altura de la caja, queda:

h = 2*√(1 - x²) (2).

Luego, plantea la expresión del área del frente de la caja:

A = b*h, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), y queda:

A(x) = 2*x*2*√(1 - x²), reduces factores numéricos, y queda

A(x) = 4*x*√(1 - x²) (3),

que es la expresión de la función área, cuyo dominio es: D = (0,1).

Luego, planteas la expresión de la función derivada, y queda:

A ' (x) = 4*√(1 - x²) - 4*x²/√(1 - x²);

luego, planteas la condición de valor crítico (posible máximo o posible mínimo), y queda:

A ' (x) = 0, sustituyes la expresión de la función derivada, y queda:

4*√(1 - x²) - 4*x²/√(1 - x²) = 0, sumas 4*x²/√(1 - x²) en ambos miembros, y queda:

4*√(1 - x²) = 4*x²/√(1 - x²), multiplicas por √(1 - x²)/4 en ambos miembros, y queda:

1 - x² = 4x², restas 4x² y restas 1 en ambos miembros, y queda:

-5x² = -1, divides por 5 en ambos miembros, y queda:

x² = 1/5, multiplicas por 5 al numerador y al denominador en el segundo miembro, y queda:

x² = 5/25,

extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

x = √(5)/5;

luego, reemplazas en las ecuaciones señaladas (1) (2), y las dimensiones del frente de la caja quedan:

b = 2*√(5)/5 (observa que esta es la expresión del ancho máximo que puede tener la caja),

h = 2*√(1-1/5) = 2*√(4/5) = 2*2*√(1/5) = 4/√(5/25) = 4*√(5)/5;

luego, reemplazas los valores en la expresión del área del frente de la caja (A = b*h), y queda:

A = 8/5.

Espero haberte ayudado.

Observa que debes aplicar la Regla de la Cadena:

f ' (x) = 3*cos(2*x)*2 = 6*cos(2*x).

Espero haberte ayudado.

Planteas los límites laterales, y tienes:

Lím(x→-1-) f(x) = Lím(x→-1-) (k*x - 3) = -k - 3,

Lím(x→-1+) f(x) = Lím(x→-1+) (x² + k) = 1 + k;

luego, planteas la igualdad entre los límites laterales, y queda la ecuación:

-k - 3 = 1 + k, restas k y sumas 3 en ambos miembros, y queda:

-2k = 4, divides por -2 en ambos miembros, y queda:

k = -2.

Luego, reemplazas el valor remarcado en la expresión de la función, y queda:

f(x) = 

-2x - 3            si x ≤ -1,

 x² - 2             si x > 1.

Espero haberte ayudado.