Recuerda el producto entre polinomios:

uⁿ - 1 = (u-1)*(u^n-1+u^n-2+u^n-3+ ... +u²+u+1) (1).

Luego, puedes aplicar la sustitución (cambio de variable):

x+1 = uⁿ, de donde tienes:

x = uⁿ-1, y observa que u tiende a 1 cuando x tiende a cero.

Luego, sustituyes, y el límite de tu enunciado queda:

L = Lím(u→1) (u-1) / (uⁿ-1);

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en el denominador, y queda:

L = Lím(u→1) (u-1) / (u-1)*(u^n-1+u^n-2+u^n-3+ ... +u²+u+1);

luego, simplificas, y queda:

L = Lím(u→1) 1 / (u^n-1+u^n-2+u^n-3+ ... +u²+u+1);

luego evalúas, observa que tienes n términos en el denominador, y queda:

L = 1 / (1+1+1+ ... +1+1+1) = 1/n.

Espero haberte ayudado.

Hola Antonio.

Muchas gracias por tu respuesta, pero no termino de ver claro el paso de cambio de variable, pero estoy seguro que más bien por limitación mía . Voy a verme un vídeo que he encontrado en la web sobre eso.

Un saludo.

Bueno, la pregunta más bien es: ¿por qué x+1=uⁿ?

Observa el numerador en el argumento del límite:

ⁿ√(1+x) - 1 = sustituyes = ⁿ√(uⁿ) - 1 = simplificas raíz y potencia = u - 1,

y tienes una expresión polinómica en el numerador.

Observa que al sustituir en el denominador también tienes una expresión polinómica.

Luego, factorizas el denominador y simplificas como hemos hecho en el desarrollo.

Luego, observa que x tiende a cero en tu enunciado, por lo que reemplazas en la expresión de sustitución, y queda:

uⁿ - 1 = 0, sumas 1 en ambos miembros, y queda:

uⁿ = 1, extraes raíz de orden n en ambos miembros, y queda:

u = ⁿ√(1) = 1, por lo que tienes que u tiende a uno.

Espero haberte ayudado.

Antonio, muchas gracias. Ahora todo mucho más claro! Disculpa que te haya hecho explicarlo de nuevo y con mucho más detalle.

Sólo una cosa más: ¿por qué has tomado el producto de polinomios? ¿es alguna propiedad que tienen este tipo de límites? ¿o es pura observación y experiencia?

Gracias de nuevo por adelantado.

Un saludo.

Observa que tienes una superficie cerrada (S), orientable, y suave en dos secciones (un trozo de paraboloide circular con eje z y vértice (0,0,1), y un trozo del plano OXY con forma de disco circular, con centro (0,0,0) y radio 1).

Observa que la superficie cerrada limita a un sólido (B) simple, que queda descrito:

0 ≤ z ≤ 1-x²-y²,

x²+y²≤1.

Observa que el campo vectorial tiene componentes continuas con derivadas parciales primeras continuas en R³, y en cualquier sector de R₃ que incluya al sólido y a la superficie cerrada que lo limita, y también observa que la divergencia del campo vectorial queda expresada:

∇•F = 2+2+1 = 5.

Luego, observa que se cumplen todas las hipótesis del Teorema de Ostrogradski-Gauss, por lo que puedes plantear:
∯_S F•dS =

aplicas el teorema, y queda:

= ∫∫∫_B (∇•F)*dx*dy*dz = 

sustituyes la expresión de la divergencia, ordenas variables de integración, y queda:

= ∫∫∫_B 5*dz*dx*dy = 

extraes el factor constante, y queda:

= 5 * ∫∫∫_B 1*dz*dx*dy = 

integras para la variable z (observa que designamos con R a la región de proyección del sólido sobre el plano OXY, que es un disco circular con centro en el origen y radio uno), y queda:

= 5 * ∫∫_R [z]*dx*dy =

evalúas con Regla de Barrow para la variable z, cancelas el término nulo, y queda:

= 5 * ∫∫_R (1-x²-y²)*dx*dy = 

planteas el cambio a coordenadas polares (te dejo la tarea de plantearlo), y queda:

= 5 * ₀∫^2π₀∫¹ (1-r²)*r*dr*dθ = 

distribuyes en el argumento, y queda:

= 5 * ₀∫^2π₀∫¹ (r-r³)*dr*dθ = y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

Con respecto a las expresiones de los vectores normales exteriores, observa que que el sólido está limitado "superiormente" por la porción de paraboloide, y que los vectores normales en cualquiera de sus puntos apuntan "un poco hacia arriba", por lo que debes plantear a los vectores normales con tercera componente positiva; luego, observa que el sólido está limitado "inferiormente" por la porción de plano OXY, y que los vectores normales en cualquiera de sus puntos apuntan "hacia abajo", por lo que debes plantear a los vectores normales con tercera componente negativa

Luego, plantea la ecuación cartesiana implícita de la porción de paraboloide:

x² + y² + z - 1 = 0, que es la expresión de una superficie de nivel de la función diferenciable cuya expresión es:

f(x,y,z) = x² + y² + z - 1, y como los vectores gradientes de la función es perpendicular a la superficie en todos sus puntos, puedes plantear para la expresión de los vectores normales:

n_s = ∇f = <2x,2y,1>.

Luego, plantea la ecuación cartesiana implícita de la porción de plano OXY:

z = 0, multiplicas por -1 en ambos miembros de la ecuación, y queda:

-z = 0, que es la expresión de una superficie de nivel de la función diferenciable cuya expresión es:

g(x,y,z) = -z, y como los vectores gradientes de la función es perpendicular a la superficie en todos sus puntos, puedes plantear para la expresión de los vectores normales:

n_i = ∇g = <0,0,-1>.

Espero haberte ayudado.

Usted siempre tan atento profe Silvio y además excelente forma de explicar.

y la otra parte!? que de ella no tengo ni idea? 

SABIENDO QUE LE MODULO DE U=4 Y U/V=3/2 CALCULA U·V 

Sube foto del enunciado original, por favor.

Pon foto del enunciado original (sin añadidos)

Derivación logarítmica e implicita

Gracias, me gustatia que resuelva pero sin dar valores a "delta"