Plantea la expresión del incremento de la función:

Δf = f(x+h) - f(x) = (x+h)²ln(x+h) - x²lnx = (x²+2xh+h²)ln(x+h) - x²lnx = x²ln(x+h) + 2xhln(x+h) + h²ln(x+h) - x²lnx,

ordenas términos, agrupas términos, extraes factores comunes, y queda:

Δf = x²( ln(x+h) - lnx ) + h( 2xln(x+h) + hln(x+h) );

luego, divides en todos los términos de la ecuación por h, y queda:

Δf/h = x²( ln(x+h) - lnx )/h + ( 2xln(x+h) + hln(x+h) ),

luego, tomas límite que h tendiendo a cero en todos los términos de la ecuación, y queda:

f ' (x) = Lím(h→0) x²( ln(x+h) - lnx )/h + Lím(h→0) ( 2xln(x+h) + hln(x+h) ),

extraes factor común en el primer término, resuelves en el segundo término, y queda:

f ' (x) = x²Lím(h→0) ( ln(x+h) - lnx )/h + 2xlnx + 0,

luego, observa que la expresión remarcada corresponde a la expresión de la función derivada del logaritmo natural, sustituyes, y queda:

f ' (x) = x²(1/x) + 2xlnx + 0,

luego, simplificas en el primer término, cancelas el término nulo, y queda:

f ' (x) = x + 2xlnx.

Espero haberte ayudado.

Si x=-1 anula al polinomio, entonces en su descomposición factorial figura el factor (x+1).

Lo siento pero no distingo la foto, intenta por favor subir una de mayor calidad...

No es correcto, el dominio es (-1,0) U (0,1)

Del dominio se deduce que está definida en (-1,1) y hay una discontinuidad en x=0

Para ver el proceso pincha en "mostrar pasos" en el apartado dominio en este enlace: https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Dln%5Cleft(%5Cfrac%7B1%2Bx%7D%7B1-x%7D%5Cright)

Se ve que juega mucho con la integral , tendra algun video o documento que me ayude a realizar mas ejercicios de este tipo??

Muchas gracias

Sí, solamente.

Otras indeterminaciones han de ser reducidas a una de éstas para poder aplicar la regla.