Derivacion logarítmica

Puedes llamar a al caudal del caño A, y puedes llamar b al caudal del caño B (recuerda la ecuación: Volumen = Caudal multiplicado por Tiempo).

Luego, tienes en tu enunciado que con los dos caños se llena la pileta en dos horas, por lo que puedes plantear:

V = (a + b)*2, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: V/2 = a + b (1).

Luego, si llamas t al tiempo que se tarda en llenar la pileta con el caño B solamente, tienes que t-3 es el tiempo que se tarda en llenarla con el caño A solamente, por lo que tienes las ecuaciones:

V = b*t, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: V/t = b (2)

V = a*(t-3), aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: V/(t-3) = a (3);

luego, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3) en la ecuación señalada (1), y queda:

V/2 = V(t-3) + V/t, multiplicas en todos los términos de la ecuación por 2/V, y queda:

1 = 2/(t-3) + 2/t, haces pasaje de término, y queda:

1 - 2/t = 2/(t-3), extraes denominador común en el primer miembro, y queda:

(t - 2)/t = 2/(t - 3), haces pasajes de divisores como factores, y queda:

(t - 2)*(t - 3) = 2t, distribuyes en el primer miembro, y queda:

t² - 3t - 2t + 6 = 2t, haces pasaje de término, reduces términos semejantes, y queda:

t² - 7t + 6 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

a)

t = 1, por lo que tienes que con el caño B se tardaría 1 hora en llenar la pileta, pero observa que con el caño A se tardaría -2 horas, 

por lo que tienes que esta no es una solución para el problema de tu enunciado;

b)

t = 6, por lo que tienes que con el caño B se tardaría 6 hora en llenar la pileta, pero observa que con el caño A se tardaría 3 horas, 

por lo que tienes que esta si es una solución para el problema de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Tienes un sistema de dos ecuaciones lineales, de primer grado y con dos incógnitas.

Luego, plantea la matriz del sistema (recuerda que sus elementos son los coeficientes que multiplican a las incógnitas):

A =

(m-2)          (m+2)

(-2m+4)     (-m-1);

luego, plantea el determinante de la matriz del sistema:

|A| = (m-2)(-m-1) - (m+2)(-2m+4), desarrollas los productos en los términos, y queda:

|A| = -m² - m + 2m + 2 + 2m² - 4m + 4m - 8, reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), y queda:

|A| = m² + m - 6, luego, observa que la expresión es un polinomio cuadrático, lo factorizas con la fórmula resolvente (o de Baskara), y queda:

|A| = (m-2)(m+3)

Luego, tienes dos opciones:

a)

|A| ≠ 0, que corresponde a: m ≠ 2 y m ≠ -3, y tienes que el sistema es compatible determinado y admite una solución única:

b) 

|A| = 0, que corresponde a:

b₁)

m = 2, reemplazas en el sistema que tenes en tu enunciado, y queda:

 4y = 4, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: y = 1 (1),

-3y = -3,

luego reemplazas el valor señalado (1) en la segunda ecuación, y queda: -3 = -3, que es una identidad verdadera,

por lo que tienes que el sistema es compatible indeterminado y admite infinitas soluciones, y el conjunto solución queda expresado:

S = { (x,y) : x ∈ R, y = 1 };

b₂)

m = -3, reemplazas en el sistema que tenes en tu enunciado, y queda:

-5x - y = -11

10x + 2y = 22,

multiplicas por -1 en todos los términos de la primera ecuación, y por 1/2 en todos los términos de la segunda ecuación, y queda:

5x + y = 11, aquí haces pasaje de término, y queda: y = 11 - 5x (2),

5x + y = 11,

luego, observa que la segunda ecuación es igual a la primera, por lo tanto tienes infinitas soluciones, y el conjunto solución queda expresado:

S = { (x,y) : x ∈ R, y = 11- 5x }.

Espero haberte ayudado.

Recuerda que el vector nulo debe pertenecer al subespacio.

Luego, si el sistema no es homogéneo, tienes que el vector nulo no es solución del sistema, por lo que tienes que su conjunto solución no es un subespacio.

Espero haberte ayudado.

Buah aquí me pillas haha. No consigo entenderlo

Recuerda que el vector nulo es solución en un sistema homogéneo, por ejemplo en el espacio vectorial R³ con cuerpo de escalares R:

2x + 3y - 5z = 0

x + y + 7z = 0,

ya que reemplazas las componentes del vector nulo (N = <0,0,0>, y obtienes la identidad verdadera 0 = 0 en las ecuaciones del sistema homogéneo, por lo que tienes que las soluciones del sistema homogéneo si conforman un subespacio de R³ (recuerda que la suma de soluciones de un sistema homogéneo es otra solución, y que el producto de una solución por un escalar también es otra solución).

Pero, observa que el vector nulo no es solución de un sistema que no es homogéneo, por ejemplo:

2x + 3y - 5z = -7

x + y + 7z = 24,

ya que reemplazas las componentes del vector nulo (N = <0,0,0>), y obtienes las identidades falsas: 0 = -7 y 0 = 24 en las ecuaciones del sistema que no es homogéneo, por lo que tienes en este caso que el vector nulo no pertenece al conjunto de soluciones y éste, por lo tanto, no puede ser un subespacio.

Observa que el vector: u = <1,2,3> es una solución del sistema no homogéneo, pero su opuesto: -u = -1*u = <-1,-2,-3> no lo es, con lo que tienes que el conjunto de vectores no cumple con la propiedad de que cada vector tiene su opuesto, por lo tanto el conjunto de vectores no es un subespacio de R³.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Observa que los conjuntos generadores de los subespacios U y V comparten dos elementos: (1,2,1) y (3,1,5).

Luego, debes averiguar si el tercer vector del conjunto generador del subespacio V es combinación lineal de los dos vectores compartidos,

y para ello, puedes plantear la "combinación lineal nula":

a(1,2,1) + b(3,1,5) + c(3,-4,7) = (0,0,0), resuelves el primer miembro, y queda:

(a+3b+3c,2a+b-4c,a+5b+7c) = (0,0,0),

luego, igualas componente a componente, y tienes el sistema de ecuaciones homogéneo:

a + 3b + 3c = 0, aquí haces pasajes de términos, y queda: a = -3b - 3c (1),

2a + b - 4c = 0

a + 5b + 7c = 0,

sustituyes la expresión señalada (1) en las dos últimas ecuaciones, desarrollas, reduces términos semejantes, y queda:

-5b - 10c = 0, aquí haces pasaje de término, y queda: -5b = 10c, haces pasaje de factor como divisor, y queda: b = -2c (2),

2b + 4c = 0,

sustituyes la expresión señalada (2) en la última ecuación, resuelves, reduces términos semejantes, y queda:

0 = 0,

que es una identidad verdadera, por lo que tienes que el sistema es compatible indeterminado y admite infinitas soluciones,

luego, como los escalares a, b, c que verifican la "combinación lineal nula" pueden no ser nulos, tienes que el tercer vector del conjunto generador del subespacio vectorial V es combinación lineal de los demás vectores de dicho conjunto, por lo que tienes que el conjunto: {(1,2,1),(3,1,5)] genera a los dos subespacios, por lo que puedes concluir que son iguales.

Espero haberte ayudado.

Creo que he entendido lo que me quieres decir.

¿Entonces es valido en vez de hacer eso, mirar las bases de cada conjunto de generadores, y en caso de ser iguales decir que son el mismo subespacio vectorial y que si son diferentes no lo son?

Vaya, me refiero a mirar el rango, encontrar los vectores linealmente independientes, sacar la base y si son iguales, pues el subespacio también lo es. Lo acabo de hacer así y las bases son iguales. No estoy seguro que estos e puede hacer siempre.

el ultimo con 

Te mando resuelto uno similar. adapta el dato:

https://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/derivadas/regla-de-la-cadena/derivada-enesima-de-una-funcion

Que necesitas la justificacion?

En realidad Cómo desarrollar