Vamos a entendernos , no es que la " solución " del denominador son todos los reales . Lo que sí es cierto es que el polinomio
P(x) = x^2 - 3x + 5  es positivo para todo x real , la razón es porque cumple con 2 condiciones necesarias y suficientes :
 1) El coeficiente principal es positivo .
 2) El discriminante es negativo.
Esto se conoce también como el Teorema del Trinomio Positivo  ( T.T.P )
La explicación en palabras simples es que siendo el discriminante negativo , P(x) no tiene raíces reales y por lo tanto  no corta al eje X , además siendo el coeficiente principal positivo entonces la parábola se abre hacia arriba , de donde la parábola está siempre arriba del eje X  y por lo tanto es positivo para todo x .
De hecho que esto tiene demostración matemática , lo cual es también sencilla .

Cuando se tiene una desigualdad respecto a cero (mayor , menor , mayor /menor - igual )  , a modo práctico los factores con potencia par , los radicales con índice par  y las expresiones que se conocen son positivas se " eliminan " .
Esto tiene explicación ya que si se multiplica (o divide) por una expresión positiva el sentido de la desigualdad no cambia .
Multiplicamos a ambos lados por  x^2 - 3x + 5 , en la izquierda se simplifica y en la derecha queda cero ya que 0. ( x^2 - 3x + 5) = 0
y se obtiene una expresión ya sin el denominador .

Además de " eliminar " esos factores se realizan algunas cosas más dependiendo del tipo de desigualdad :

A)
Cuando se tiene desigualdad mayor / menor  - igual  (≥  , ≤  ) , los factores que se simplifican en el numerador se igualan a cero y las soluciones obtenidas son también solución de esa desigualdad . Obviamente los factores que anulan el denominador se quitan del conjunto solución .

Esto también tiene una explicación como indiqué en otro ejercicio tuyo , al resolver una desigualdad del tipo mayor / menor  - igual  se resuelven 2 cosas 
 una desigualdad y una igualdad (una ecuación)  , una fracción es cero si el numerador es cero es por eso que se incluyen las soluciones que anulan al numerador.

De todo esto lo que muestras le falta agregar el punto x = 1/2 al conjunto solución que allí muestras de lo contrario es incorrecto.

B)
En el caso resuelvas una desigualdad sin el igual , osea uno del tipo mayor o menor únicamente ( > , < ) , en este caso se excluyen los valores que anulan al numerador y los que anulan al denominador . 
Como todo lo demás esto también tiene explicación , si existe un x=a que anula al numerador se quita ya que de lo contrario se tendría 
0 > 0  ó  0 < 0 , ambas son falsas .

Y porque se quita los valores que anulan al numerador ?? R : Por una cuestión de existencia ya que las expresiones del tipo A/0 no están definidas .

Disculpa por escribir tanto , la respuesta a lo que buscas está al inicio.

no, no te disculpes, mas bien te agradezco tu respuesta, quería una respuesta así de detallada, ya me di cuenta que debía agregar 1/2 como parte de la solución, no sabia que cuando la ecuación tenia raíces imaginarias, la parábola no cortaba los puntos en el eje de las abscisas, no entendería esto si no supiera función cuadrática , tengo ejercicios de desigualdades como este, pero no tienen alternativas por eso es mi duda la escribo aquí en el foro, en el otro ejercicio que publiqué es de un libro y si tienen alternativas en el caso de llegar a la respuesta busco en las alternativas, saliendo del tema me alegra que también seas peruano. 

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

El procedimiento es correcto y el resultado también.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Puedes proponer como solución de la ecuación:

y = e^rx, cuyas tres primeras derivadas tienen las expresiones:

y ' = r*e^rx, y ' ' = r²*e^rx, y ' ' ' = r³*e^rx.

Luego, sustituyes en la ecuación diferencial, y queda:

a*r³*e^rx + b*r*e^rx + c*e^rx = 0;

luego, divides en todos los términos de la ecuación por e^rx (observa que esta expresión toma valores estrictamente positivos), y queda:

a*r³ + b*r + c = 0,

que es una ecuación polinómica cúbica con coeficientes reales y, de acuerdo con el Teorema Fundamental del Álgebra, tienes que admite tres soluciones en el conjunto de los números complejos, y éstas pueden ser:

a) tres soluciones reales, o

b) una solución real y dos soluciones complejas conjugadas;

por lo que puedes concluir que existe m₁ ∈ R que es solución de la ecuación polinómica cúbica, y, por lo tanto,

tienes que y = e^m1x es solución de la ecuación diferencial.

Espero haberte ayudado.

Proporciona el enunciado original, por favor Elvis.

Log(x-3)+log(x+1)=1-log(x-5)

Log(x-3)+log(x+1)=log10-log(x-5)

Log[(x-3)(x+1)]=log[10/(x-5)]

(x-3)(x+1)=10/(x-5)

 x²-2x-3=10/(x-5)

(x²-2x-3)(x-5)=10

x³-7x²+7x+15=10

x³-7x²+7x+5=0

....

recuerda que debes validar cada una de las soluciones en la ecuación inicial

Un área JAMÁS puede ser negativa

ver aquí

es que calculo la integral de x²  - x  definida a 1 y 0

Y me da -1/6   de (1/3)- (1/2)  y no se donde esta el error.

Aqui integra x-x²

pero yo integro x²  -x

yo he hecho f(x)-g(x)

tienes que integrar la de arriba menos de la abajo (por eso te paso el dibujo)

y desde 0 hasta 1 (del menor al mayor)

pincha en el link que te pasé y luego sobre mostrar pasos

Muchas gracias quedo clarisimo

Suma a la 1ª fila todas las demás  filas.

Saca factor  (3-3x) de la 1ª fila.

Resta la 1ª columna a cada una de las demás columnas.

Te queda el determinante:  (3-3x)(3+x)(3+x)(3+x)=3(1-x)(3+x)^3