Cuidado que la derivada de 2 a la x no es 2 a la x, la mejor manera es pasarla como exponente en base e como hice en la foto.
No se si viste integrales de este estilo pero son ciclicas, asi que hice dos veces por partes hasta llegar a lo mismo que tenia al principio y despeje, cualquier duda decime

Buena pregunta. Al no especificarse, resuelve el ejercicio tal como lo tienes. Y luego resuélvelo con h-6 e tan 20º- Si no obtienes ningún resultado contradictorio, ambas respuestas serían válidas.

Te piden el modulo del vector... 

cuando el punto de corte es con el eje ox z e y son igual 0

sustituyes y sacas x

Faltan datos, Germán. Pon foto del enunciado original.

si si faltan pero con lo que me ha respondido Alexis me sobra ya lo he hecho bien gracias

Llamamos p al precio de una tonelada de producto de baja calidad, por lo que tenemos que el precio de una tonelada de producto de alta calidad es 2p.

Luego, planteamos el ingreso:

I = px + 2py, luego sustituimos la expresión para y que tenemos en el enunciado y queda:

I = px + 2p(-x⁴ + 8x² - 0,5x + 9),

y observa que tenemos la expresión del ingreso en función de la cantidad de toneladas de producto de baja calidad producidas:

I(x) = px + 2p(-x⁴ + 8x² - 0,5x + 9), luego planteamos la expresión de la derivada primera:

I ' (x) = p + 2p(-4x³ + 16x - 0,5),

luego planteamos la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo:

I ' (x) = 0, sustituimos y queda:

p + 2p(-4x³ + 16x - 0,5) = 0, dividimos en todos los términos de la ecuación por p (observa que p es estrictamente positivo) y queda:

1 + 2(-4x³ + 16x - 0,5) = 0, distribuimos en el segundo término y queda:

1 - 8x³ + 32x - 1 = 0, cancelamos términos opuestos, extraemos factor común y queda:

- 8x(x² - 4) = 0, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

x(x² - 4) = 0, factorizamos el agrupamiento (observa que es una diferencia de cuadrados y queda:

x(x + 2)(x - 2) = 0, luego, por anulación de un producto tenemos tres opciones:

1) x = 0, que no tiene sentido para este problema;

2) x + 2 = 0, de donde despejamos: x = - 2, que no tiene sentido para este problema;

3) x - 2 = 0, de donde despejamos: x = 2,

Luego, concluimos que para que el ingreso sea máximo se deben producir 2 toneladas de producto de baja calidad.

Evaluamos para verificar la validez de la conclusión:

I(1) = 32p,

I(2) = 49p

I(3) = 0

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación: debes plantear el método de las fracciones parciales.

Observa que el denominador queda:

(x² - 1)² = ( (x - 1)(x + 1) )² = (x - 1)²(x + 1)².

Luego, planteamos para la fracción algebraica del argumento de la integral:

4 / (x² - 1)² = a/(x-1) + b/(x-1)² + c/(x+1) + d/(x+1)² = extraemos mínimo común denominasor:

= ( a(x-1)(x+1)² + b(x+1)² + c(x-1)²(x+1) + d(x-1)² ) / (x - 1)²(x + 1)².

Luego, igualamos numeradores y queda:

a(x-1)(x+1)² + b(x+1)² + c(x-1)²(x+1) + d(x-1)² = 4,

luego, evaluamos para cuatro valores distintos de x, por ejemplo 1, -1, 0 y 2, y queda el sistema de ecuaciones:

4b = 4, de donde despejamos: b = 1, 

4d = 4, de donde despejamos: d = 1, 

- a + b + c + d = 4, reemplazamos valores y queda: - a + 1 + c + 1 = 4, hacemos pasajes de términos y queda: - a + c = 2 (1),

9a + 9b + 3c + d = 4, reemplazamos valores y queda: 9a + 9 + 3c + 1 = 4, hacemos pasajes de términos y queda: 9a + 3c = - 6 (2),

luego resuelves el sistema formado por las ecuaciones señaladas (1) (2) y tienes: a = - 1, c = 1.

Luego, la integral del enunciado queda:

I = ∫ 4 / (x² - 1)² dx = sustituimos =  ∫ (-1/(x-1) + 1/(x-1)² + 1/(x+1) + 1/(x+1)²) dx,

luego queda para que concluyas la tarea.

Espero haberte ayudado.

Suponemos que x fuera estrictamente > 0. Entonces como que x+y=0, tenemos que y=-x<0. Pero hemos quedado que y≥0!!!!! Por tanto, x=y=0 (si no ves la mitad que me he saltado, es exactamente igual al argumento simétrico).