muchas gracias y como hallaría su limite?

En la ecuación del plano tienes el determinante mal hecho, pues el factor de (y-2) es 1, no -1.

El otro: lo que has escrito es un plano, no una recta.

La tercera parte  nos dice que el vector director de la recta y el vector normal del plano son perpendiculares. O sea, que la recta está contenida en el plano o es paralela a él.

Esta mal simplificado el cosx, este quedaria elevado al cuadrado

???

Tienes la ecuación trigonométrica:

sen(2x) = tanx, sustituiste la tangente por su expresión en función del seno y del coseno y quedó:

sen(2x) = senx / cosx, sustituiste el seno del doble de x por su expresión en función del seno de x y del coseno de x y quedó:

2*senx*cosx = senx / cosx, luego haces pasaje del divisor del segundo miembro como factor del primer miembro y queda:

2*senx*cosx*cosx = senx, reduces factores semejantes en el primer miembro y queda:

2*senx*cos²x = senx, haces pasaje de término y queda:

2*senx*cos²x - senx = 0, extraes factor común y queda:

senx*(2*cos²x - 1) = 0, luego, por anulación de un producto tienes dos opciones:

1)

senx = 0, de donde tienes: x = k*π, con k ∈ Z;

2)

2*cos²x - 1 = 0, haces pasaje de término y queda:

2*cos²x = 1, haces pasaje de factor como divisor y queda:

cos²x = 1/2,  haces pasaje de potencia como raíz y tienes dos opciones:

2a) cosx = √(1/2), de donde tienes: x = ±π/4 + 2m*π, con m ∈ Z;

2b) cosx = - √(1/2), de donde tienes: x = ±3π/4 + 2n*π, con n ∈ Z;

observa que si hacemos una lista de las soluciones que obtuvimos queda:

{ ... -7π/4, -5π/4, -3π/4, - π/4, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, ... },que puede expresarse como: { x = π/4 + p*π/2, con p ∈ Z }.

Espero haberte ayudado.

Veo que eres Universitario, intenta plantear algo tú ¿vale?

Llamamos t₁ al tiempo empleado por el primer caracol en hacer el recorrido, luego tenemos para los otros dos (llamamos a y b a sus velocidades):

L - A = a*t₁

L - B = b*t₁

dividimos miembro a miembro, simplificamos y queda:

(L - A)/(L - B) = a/b (1)

Llamamos t₂ al tiempo empleado por el segundo caracol en hacer el recorrido, luego tenemos para él y para el tercero:

L = a*t₂

L - 140 = b*t₂

dividimos miembro a miembro, simplificamos y queda:

L/(L - 140) = a/b (2).

Luego, igualamos las expresiones señaladas (1) (2) y queda la ecuación:

(L - A)/(L - B) = L/(L - 140)

de donde puedes despejar y obtendrás la expresión de L en función de A y B.

Espero haberte ayudado.

Condiciones iniciales
√(x²-8)≠0       y         x²-8≥0
ΙxΙ≠raiz8                          ΙxΙ≥raiz8
Componiendo queda que           ΙxΙ>raiz8 es decir    D= (-∞,-raiz8)U(raiz8,∞)

los reales que anulan al denominador son x^2=8    x=±2√2

dominio   R-{±2√2}

Esa respuesta es parcial, ya que falta considerar que no se puede obtener una raiz de indice par sobre numeros negativos

Siempre hablando de numeros reales claro esta

Observa que tienes a una recta presentada como intersección entre dos planos, cuyas ecuaciones son las del sistema del enunciado, por lo tanto, puedes plantear que un vector director de la recta es el producto vectorial entre los vectores normales de los planos:

u = <1,-1,2> x <2,1,1> = <-3,3,3>.

Luego, recuerda que si una recta y un plano son paralelos, entonces tienes que el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, por lo que el producto escalar entre ellos debe ser igual a cero:

<-3,3,3> • <1,-a,10> = 0, desarrollas el producto escalar y queda:

-3*1 + 3*(-a) + 3*10 = 0, resuelves productos y queda:

-3 - 3a + 30 = 0, reduces términos numéricos y queda:

-3a + 27 = 0, divides en todos los términos de la ecuación por -3 y queda:

a - 9 = 0, haces pasaje de término y queda: a = 9.

Espero haberte ayudado.

Tienes el sistema de ecuaciones matriciales:

3X + Y = A

4X + 2Y = B

Emplearemos el método de reducción por sumas y restas para resolverlo, en dos pasos independientes entre si:

1)

Multiplicas la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por 3 y queda:

12X + 4Y = 4A

12X + 6y = 3B

restas miembro a miembro (observa que tienes cancelación de términos opuestos) y queda:

- 2Y = 4A - 3B

multiplicas en todos los términos de la ecuación por - 1/2 y queda:

Y = - 2A + (3/2)B.

2)

Multiplicas la primera ecuación pro 2 y queda:

6X + 2Y = 2A

4X + 2Y = B

restas miembro a miembro (observa que tienes cancelación de términos opuestos) y queda:

2X = 2A - B

multiplicas por 1/2 en todos los términos de la ecuación y queda

X = A - (1/2)B.

Luego, solo queda que realices las operaciones con los datos del enunciado.

Espero haberte ayudado.