Hola lbp.

Esa simplificación en la raíz cuadrada es incorrecta.

Contestada

Para la regla del trapecio, mírate este video https://www.youtube.com/watch?v=OIqpt-0CUNE

Puedes llamar x a la edad actual de Diego, y puedes llamar y a la edad actual de su hermano; luego, puedes plantear la ecuación:

y = x - 10 (1).

Luego, observa que dentro de cinco años la edad de Diego será: (x+5), y la edad de su hermano será: (y+5), por lo que puedes plantear la ecuación:

x + 5 = 2(y + 5), aquí distribuyes el segundo miembro, y queda:

x + 5 = 2y + 10, aquí restas 5 en ambos miembros, y queda:

x = 2y + 5 (2).

Luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

y = 2y + 5 - 10, restas 2y en ambos miembros, reduces términos semejantes, y queda:

-y = -5, multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda: y = 5 años;

luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda: x = 15 años.

Espero haberte ayudado.

Recuerda que la expresión: (-1)ⁿ es oscilante, y toma los valores -1 y 1 en forma alternada, por lo que no tiene límite.

Recuerda que la expresión: 1/n toma valores positivos decrecientes, por lo que tienes que su valor máximo es 1 y que su límite es 0.

Luego, tienes el límite de tu enunciado:

Lím(n→∞ ( (-1)ⁿ + 1/n ), el cuál no existe, ya que es la suma de dos términos en los cuales el primero de ellos no existe y el segundo tiende a cero (observa que para valores de n mucho mayores que uno, tienes que la expresión toma valores cercanos a -1 y a 1 en forma alternada.

Luego, como el primer término de la expresión es oscilante entre dos valores fijos, y como el segundo término es decreciente y toma valores positivos, entonces tienes (consignamos los primeros valores de la expresión de tu enunciado a fin de visualizar mejor la situación):

x(1) = (-1)¹ + 1/1 = -1 + 1 = 0,

x(2) = (-1)² + 1/2 = 1 + 1/2 = 3/2 = 1,5,

x(3) = (-1)³ + 1/3 = -1 + 1/3 = -2/3 ≅ -0,667,

x(4) = (-1)⁴ + 1/4 = 1 + 1/4 = 5/4 = 1,25,

x(5) = (-1)⁵ + 1/5 = -1 + 1/5 = -4/5 = -0,8,

x(6) = (-1)⁶ + 1/6 = 1 + 1/6 = 7/6 ≅ 1,167,

x(7) = (-1)⁷ + 1/7 = -1 + 1/7 = -6/7 ≅ -0,857,

x(8) = (-1)⁸ + 1/8 = 1 + 1/8 = 9/8 = 1,125,

y así siguiendo; 

luego, consignamos dos términos correspondientes a valores de n mucho mayores que uno:

x(999) = (-1)⁹⁹⁹ + 1/999 = -1 + 1/999 = -998/999 ≅ -0,999,

x(1000) = (-1)¹⁰⁰⁰ + 1/1000 = 1 + 1/1000 = 1001/1000 = 1,001.

Luego, observa que los valores de la expresión para n impar tienden a -1, y que los valores para n par tienden a 1,

por lo que tienes que el valor remarcado: x(2) = 1,5 es el valor máximo que toma la expresión, y puedes observar además que la expresión no toma un valor mínimo, ya que sus valores correspondientes a n impar se acercan a -1 cada vez más, a medida que los valores de n impares tienden a infinito.

Luego, puedes concluir que la expresión de tu enunciado toma valores pertenecientes al intervalo: ( -1 , 1,5 ].

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Puedes llamar x a la cantidad de años que han pasado. 

Observa que las edades de las dos personas eran: (37-x) y (13-x).

Luego, puedes plantear la ecuación:

(13-x)² = 2(37-x).

Luego, desarrollas el binomio elevado al cuadrado en el primer miembro, distribuyes el segundo miembro, y queda:

169 - 26x + x² = 74 - 2x,

sumas 2x y restas 74 en ambos miembros, ordenas términos en el primer miembro, y queda:

x² - 24x + 95 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

a)

x = (24+14)/2 = 19 años,

que no tiene sentido para este problema (observa que la edad actual de la persona más joven es trece años);

b) 

x = (24-14)/2 = 5 años,

que sí tienes sentido para este problema (observa que las edades de las personas hace siete años son: 32 años y 8 años, respectivamente).

Espero haberte ayudado.

GRACIASSSS MUY AMABLEEEEEE