Tienes la expresión de la función:

f(x) = x² - 3x (1).

Luego, plantea la expresión del valor de la función para la variable independiente incrementada:

f(x+h) = (x+h)² - 3*(x+h) = x² + 2*x*h + h² - 3*x - 3*h = x² - 3*x + 2*x*h + h² - 3*h (2).

Luego, plantea la expresión del incremento de la función:

f(x+h) - f(x) = sustituyes las expresiones señaladas (2) (1):

= x² - 3*x + 2*x*h + h² - 3*h - (x² - 3x) = distribuyes el último término:

= x² - 3*x + 2*x*h + h² - 3*h - x² + 3x = reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones):

= 2*x*h + h² - 3*h = extraes factor común =

= h*(2*x + h - 3) (3).

Luego, plantea la expresión del cociente incremental (o cociente de Newton) de la función:

( f(x+h) - f(x) )/h = sustituyes la expresión señalada (3) = h*(2*x + h - 3)/h = simpllificas = 2*x + h - 3 (4).

Luego, tienes el límite de tu enunciado

Lím(h→0) ( f(x+h) - f(x) )/h = sustituyes la expresión señalada (4):

= Lím(h→0) (2*x + h - 3) = resuelves:

= 2*x - 3,

que es la expresión de la función derivada de la función f.

Espero haberte ayudado.

Recuerda la Ley de De Morgan:

A^c ∩ B^c = (A ∪ B)^c.

Luego, como los sucesos A y B son incompatibles, puedes plantear:

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) = 1/3 + 1/4 = 7/12.

Luego, puedes plantear la expresión de la probabilidad del suceso complementario:

p(A^c ∩ B^c) = p( (A ∪ B)^c ) = 1 - p(A ∪ B) = 1 - 7/12 = 5/12 .

Espero haberte ayudado.

Calcula la dimension del Ker(f) y luego aplica el teorema de las dimensiones que dice que la dimension de ker(f) + Im(f) = dim E.

En este caso dim de E es 3, sino me equivoco.

Salu2

Los ejercicios de los concursos matemáticos los tienen que resolver los concursantes:

¿Puede poner una foto del enunciado original, Víctor?

Guillem, así es un poco largo, y en el examen no dan mucho tiempo. ¿Habría otra forma de hacerlo más corto? muchas gracias por tus ayudas.

Abajo tienes el método b).

Es lo que hay.