(ortogonal = perpendicular)

Para complementar te recomiendo este vídeo: Proyección vectorial y escalar de un vector sobre otro

No se puede resolver en términos de funciones elementales.

Como dice Antonio, esa integral no tiene primitiva en términos de funciones elementales. De otra forma, no se puede resolver usando los métodos que conoces para integrar ya sea por partes, cambio de variable, sustitución trigonométrica, etc.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Tienes la expresión de la gráfica de una función de dos variables:

z = (x - 3)² - (y + 2)²,

que es un paraboloide hiperbólica (silla de montar).

Luego, plantea la ecuación general de las curvas de nivel de la función:

z = k, sustituyes la expresión de la función en el primer miembro, y queda:

(x - 3)² - (y + 2)² = k.

Luego, observa que tienes tres casos:

1º)

con k > 0, por lo que tienes: k = |k|;

luego, divides por |k| en todos los términos de la ecuación, y queda:

(x - 3)² / |k| - (y + 2)² / |k| = 1.

que corresponde a una familia de hipérbolas cuyos elementos son:

centro de simetría: C(3,-2),

eje de simetría: y = -2 (recta paralela al eje OX),

semieje real: a = √(|k|),

semieje imaginario: b = √(|k|),

semieje focal: c = √(a² + b²) = √(|k| + |k|) = √(2*|k|) = √(2)*√(|k|),

excentricidad: exc = c/a = √(2)*√(|k|)/√(|k|) = √(2);

2°)

con k < 0, por lo que tienes: k = -|k|,

sustituyes en la ecuación general de las curvas de nivel, y queda:

(x - 3)² - (y + 2)² = -|k|,

luego, divides por -|k| en todos los términos de la ecuación, y queda:

-(x - 3)² / |k| + (y + 2)² / |k| = 1.

que corresponde a una familia de hipérbolas cuyos elementos son:

centro de simetría: C(3,-2),

eje de simetría: x = 3 (recta paralela al eje OY),

semieje real: a = √(|k|),

semieje imaginario: b = √|(|k|),

semieje focal: c = √(a² + b²) = √(|k| + |k|) = √(2*|k|) = √(2)*√(|k|),

excentricidad: exc = c/a = √(2)*√(|k|)/√(|k|) = √(2);

3°)

con k = 0,

sustituyes en la ecuación general de las curvas de nivel, y queda:

(x - 3)² - (y + 2)² = 0,

restas (x - 3)² en ambos miembros, y queda:

-(y + 2)² = -(x - 3)²,

multiplicas en ambos miembros por -1, y queda:

(y + 2)² = (x - 3)²,

extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que el exponente de la potencia y el índice de la raíz son pares), y queda:

|y + 2| = |x - 3|,

por lo que tienes dos opciones:

a)

y + 2 = x - 3, restas 2 en ambos miembros, y queda:

y = x - 5, que es la ecuación de una recta que pasa por el centro de simetría de las familias de hipérbolas de los casos anteriores;

b)

y + 2 = -(x - 3), distribuyes el signo en el segundo término, y queda:

y + 2 = -x + 3, restas 2 en ambos miembros, y queda:

y = -x + 1, que es la ecuación de una recta que pasa por el centro de simetría de las familias de hipérbolas de los casos anteriores;

y luego, observa que las ecuaciones de las dos rectas corresponden a las asíntotas de las familias de hipérbolas de los dos primeros incisos.

Espero haberte ayudado.

Sea x el número de páginas del libro en cuestión

por lo tanto serán x/5 las páginas leídas por Juan

si le sumamos 90 obtenemos x/5 + 90 páginas que serán la mitad del libro

por lo tanto

x/5 + 90 = x/2

resolvemos la ecuación:

x = 300

solución: 300 páginas

comprobación:

Juan ha leido 300/5 = 60 páginas

al leer 90 páginas más habrá leído 60 + 90 = 150 páginas

y como el libro tiene 300 paginas, todavía le quedará la mitad del mismo

Hola, César. ¿Qué se te ofrece?

https://www.matematicasonline.es/primeroeso/ejercicios/proporcionalidad.html

Si subes foto del enunciado original, te ayudamos.

Traducimos a lenguaje matemático:

Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes, unos de 2 kg y otros de 5 kg

x+y=200

2x+5y=550     ,

siendo x=paquete2kg , y=paquete5kg

¿cuantos envases de cada clase utiliza? = ¿Cuál es el valor de x e y?

Resolvemos el sistema de ecuaciones para dar respuesta a la pregunta del enunciado:

Hallamos x en función de y:

x+y=200  ---------> x=200-y

Sustituimos el valor de x obtenido en la otra ecuación:

2x+5y=550 -------->  2*(200-y) +5y=550  ---->  400-2y+5y=550  ----->  y=50 paquetes de 5 kg

Hallamos x sustituyendo y=50 en cualquiera de las ecuaciones:

x+y=200  ---->  x+50=200  ----->  x=150 paquetes de 2 kg