Por supuesto.

Está correcto. El rango de la matriz del sistema es 2, y el rango de la matriz ampliada es 3.

Por otro lado, puedes verificar: si haces pasaje de término en la primera ecuación, queda: y = -2x;

luego sustituyes en las demás ecuaciones, reduces términos semejantes, y queda:

3x = -4, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: x = -4/3,

-5x = 9, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: x = -9/5,

y obtienes valores distintos para la incógnita x, lo que te indica que el sistema es incompatible y o tiene solución.

Espero haberte ayudado.

Haces pasaje de término en la primera ecuación, y queda: x = -y (1);

haces pasaje de término en la segunda ecuación, y queda: z = -y (2);

luego sustituyes en la expresión señalada (1) en la tercera ecuación, y queda:

-y + z = 2, aquí haces pasaje de término, y queda: z = 2+y (3);

luego, igualas las expresiones señaladas (3) (2), y queda:

2 + y = -y, haces pasajes de términos, y queda: 2y = -2,

haces pasaje de factor como divisor, y queda: y = -1;

luego, reemplazas en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda: x = 1, z = 1;

por lo que tienes que la solución es: x₀ = 1, y₀ = -1, z₀ = 1.

Luego, puedes verificar que la primera opción es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Para plantear la intersección entre las gráficas de las funciones, igualas sus expresiones y queda la ecuación:

x³ = x² + 2x, haces pasajes de términos, y queda:

x³ - x² - 2x = 0, extraes factor común, y queda:

x*(x² - x - 2) = 0, factorizas el polinomio cuadrático en el segundo factor, y queda:

x*(x +1)*(x - 2) = 0, luego, por anulación de un producto, tienes tres opciones:

x = 0; x + 1 = 0, aquí haces pasaje de término, y queda: x = -1; x - 2 = 0, aquí haces pasaje de término, y queda: x = 2. 

Luego, con los tres puntos, tienes dos intervalos, planteas un elemento representante en cada uno de ellos y evalúas las expresiones de las funciones, a fin de determinar cuál es la mayor y cuál es la menor en cada intervalo:

I₁ = (-1,0), representado por: x = -1/2, y para él queda: f(-1/2) = -1/8 y g(-1/2) = -3/4,

por lo que tienes: f(x) > g(x) en este intervalo;

I₂ = (0,2), representado por: x = 1, y para él queda: f(1) = 1 y g(1) = 3,

por lo que tienes: g(x) > f(x) en este intervalo.

Luego, planteas para el área de la región determinada por las gráficas de las dos funciones:

A = A₁ + A₂ (*),

y las áreas correspondientes a los dos intervalos quedan (observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):

A₁ = _-1∫⁰ ( f(x) - g(x) ) = _-1∫⁰ (x³ - x² - 2x)*dx = [x⁴/4 - x³/3 - x²] = (0) - (-5/12) = 5/12,

A₂ = ₀∫² ( g(x) - f(x) ) = _-1∫⁰ (x² + 2x - x³)*dx = [x³/3 + x² - x⁴/4] = (8/3) - (0) = 8/3;

luego, reemplazas valores en la ecuación señalada (*), y queda:

A = 5/12 + 8/3 = 37/12.

Espero haberte ayudado.

Madre mía...no he entendido nada pero gracias de todos modos 

Sólo iguala ambas funciones para hallar dónde se intersectan y procede como siempre.

Area entre funciones 01

Integrales definidas y área bajo una curva

Vamos con una orientación, y sin trigonometría.

Puedes plantear un sistema de coordenadas OXY, y dos vértices de tu triángulo: A(0,0) y B(10,0),

luego, puedes plantear que el tercer vértice queda expresado: C(x,y), con C perteneciente al primer cuadrante, 

y que la longitud del lado AC es: |AC| = 4, y que la longitud del lado BC es: |BC| = 8.

Luego, plantea las ecuaciones de las circunferencias:

C₁, con centro en el vértice A y radio 4, que queda: x² + y² = 16;

C₂, con centro en el vértice B y radio 8, que queda: (x-10)² + y² = 64.

Luego, plantea el sistema formado por las dos ecuaciones, luego restas la segunda ecuación con la primera, y queda:

(x-10)² - x² = 48,

desarrollas el binomio elevado al cuadrado, haces pasaje de término, reduces términos semejantes, y queda:

-20x + 52 = 0, haces pasaje de término, y luego de factor como divisor, y queda:

x = 13/10;

luego, reemplazas en la ecuación de la primera circunferencia (observa que puedes elegir la otra ecuación, si prefieres),

y queda:

169/100 + y² = 16, haces pasaje de término, y queda:

y² = 1431/100, haces pasaje de potencia como raíz (observa que elegimos la solución positiva), y queda:

y = √(1431)/10 = 3√(159)/10;

y tienes que el tercer vértice queda: C(13/10,3√(1159)/10).

Luego, tienes que los vértices del triángulo pertenecen a la circunferencia que lo circunscribe, por lo que puedes plantear su ecuación cartesiana implícita:

x² + y² + dx + ey + f = 0 (*), en la que d, e, f son números reales que debes determinar;

luego, haces pasajes de términos, y queda:

dx + ey + f = -x² - y²;

luego, reemplazas las coordenadas de los tres vértices, reduces términos semejantes, y queda el sistema de tres ecuciones lineales con tres incógnitas:

f = 0,

10d + f = -100, 

(13/10)d + (3√(159)/10)e + f = -1600;

y solo queda que resuelvas el sistema de ecuaciones.

Espero haberte ayudado.

La relación que se obtiene en (i) es conocida en trigonometría , se cumple para cualquier triángulo
a = 2R * SenA    ,   b = 2R*SenB   ,   c = 2R * SenC 
Lo que allí hago en la primera línea es prácticamente una demostración que se obtiene de manera inmediata .

Hay diversas formas de calcular el área de un triángulo en función de sus elementos : lados , inradio , circunradio , alturas , exradios , etc etc
Acá presento 2 formas de calcular , una que es en función de los lados únicamente y otra que relaciona los lados y el circunradio  , igualando ambas expresiones se encuentra el circunradio R .

Tu solución es incorrecta. La solución correcta es la que dan ellos.

Ahora te lo haré.

Saludos.

Recuerda las identidades de transformaciónes en producto:

cosa - cosb = -2*sen( (a+b)/2 )*sen( (a-b)/2 ) (1),

sena - senb = 2*sen( (a-b)/2 )*cos( (a+b)/2 ) (2);

y recuerda la identidad del seno del ángulo opuesto:

sen(-p) = -senp (3).

Tienes la expresión:

y = 1 - cos2 - cos4 + cos6, expresas al primer término como un coseno, y queda:

y = cos0 - cos2 - cos4 + cos6, asocias términos, en forma tal que quede una resta, y queda:

y = (cos0 - cos2) - (cos4 - cos6), aplicas la identidad señalada (1) en ambos términos, y queda:

y = -2*sen1*sen(-1) - ( -2*sen5*sen(-1) ), resuelves signos en el segundo término, y queda:

y = -2*sen1*sen(-1) + 2*sen5*sen(-1), extraes factores comunes, y queda:

y = -2*sen(-1)*(sen1 - sen5), aplicas la identidad señalada (2) en el tercer factor, y queda:

y = -2*sen(-1) * 2*sen(-2)*cos3, reduces factores numéricos, y queda:

y = -4*sen(-1)*sen(-2)*cos3, aplicas la identidad señalada (3) en el segundo y en el tercer factor, y queda:

y = -4*(-sen1)*(-sen2)*cos3, resuelves signos, y queda:

y = -4*sen1*sen2*cos3.

Espero haberte ayudado.