Hola. Necesito ayuda con este límite sin aplicar L'Hôpital.
Al momento de dividir entre la pontencia mayor, me da indeterminado. ¿Que debo hacer? Intente aplicar la conjugada y no me da el resultado que sale en el solucionario de la guía donde lo tomé (Respuesta=3).
Vamos con una orientación.
1)
Consideramos que x tiende a +infinito.
Extraes factores comunes en los argumentos de las raíces, y quedan:
√(x2+3) = √( x2*(1+3/x2) ) = distribuyes la raíz = √(x2)*√(1+3/x2) = simplificas índice y exponente (observa que son pares) =|x|*√(1+3/x2) (1);
√(x2-3) = √( x2*(1-3/x2) ) = distribuyes la raíz = √(x2)*√(1-3/x2) = simplificas índice y exponente (observa que son pares) =|x|*√(1-3/x2) (2);
√(x2+2) = √( x2*(1+2/x2) ) = distribuyes la raíz = √(x2)*√(1+2/x2) = simplificas índice y exponente (observa que son pares) =|x|*√(1+2/x2) (3).
Luego, plantea las expresiones del numerador (N) y del denominador (D) del argumento del límite, y quedan:
N = √(x2+3) - √(x2-3) = sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) = |x|*√(1+3/x2) - |x|*√(1-3/x2) = extraes factor común = |x|*( √(1+3/x2) - √(1-3/x2) ) (4);
D = √(x2+2) - x = sustituyes la expresión señalada (3) y expresas el segundo término en función de su valor absoluto (observa que toma valores positivos) =
= |x|*√(1+2/x2) - |x| = extraes factor común = |x|*( √(1+2/x2) - 1) (5).
Luego, plantea la expresión del argumento del límite:
f(x) = [ √(x2+3) - √(x2-3) ] / [ √(x2+2) - x ] = sustituyes las expresiones señaladas (4) (5) = |x|*( √(1+3/x2) - √(1-3/x2) ) / [ |x|*( √(1+2/x2) - 1) ] = simplificas =
= ( √(1+3/x2) - √(1-3/x2) ) / ( √(1+2/x2) - 1 ) (6).
Luego, plantea las expresiones del numerador (N1) y del denominador (D1) de la expresión, y quedan:
N1 = √(1+3/x2) - √(1-3/x2) = multiplicas y divides por la expresión "conjugada" =
= [ √(1+3/x2) - √(1-3/x2) ]*[ √(1+3/x2) + √(1-3/x2) ] / [ √(1+3/x2) + √(1-3/x2) ] = distribuyes el producto (observa que tienes cancelaciones) y simplificaciones) =
= [ (1+3/x2) - (1-3/x2) ] / [ √(1+3/x2) + √(1-3/x2) ] = distribuyes y reduces términos en el numerador (observa que tienes cancelaciones) =
= 6/x2 / ( √(1+3/x2) + √(1-3/x2) ) (7).
D1 = ( √(1+2/x2) - 1 ) = multiplicas y divides por la expresión "conjugada" =
= [ √(1+2/x2) - 1 ]*[ √(1+2/x2) + 1 ] / [ √(1+2/x2) + 1 ] = distribuyes el producto (observa que tienes cancelaciones) y simplificaciones) =
= 2/x2 / ( √(1+2/x2) + 1 ) (8).
Luego, sustituyes las expresiones señaladas (7) (8) en la expresión del argumento del límite señalada (6), y queda:
f(x) = [ 6/x2 / ( √(1+3/x2) + √(1-3/x2) ) ] / [ 2/x2 / ( √(1+2/x2) + 1 ) ] = simplificas entre los numeradores de las expresiones fraccionarias =
= [ 3 / ( √(1+3/x2) + √(1-3/x2) ) ] / [ 1 / ( √(1+2/x2) + 1 ) ] = resuelve la división entre expresiones fraccionarias =
= 3 * ( √(1+2/x2) + 1 ) / ( √(1+3/x2) + √(1-3/x2) ) (9).
Luego, plantea el límite que tienes en el enunciado:
Lím(x→+∞) [ √(x2+3) - √(x2-3) ] / [ √(x2+2) - x ] = sustituyes la expresión señalada (9) =
= Lím(x→+∞) [ 3 * ( √(1+2/x2) + 1 ) / ( √(1+3/x2) + √(1-3/x2) ) ] = resuelves (observa que las expresiones remarcadas tienden a cero) =
= 3 * ( √(1+0) + 1 ) / ( √(1+0) + √(1-0) ) =
= 3*2 / (1+1) = 3*2/2 = 3.
Espero haberte ayudado.
escribe la ecuación así:
(2^x)^2 + 5*2^x-14=0
Haces cambio de variable u=2^x
u^2 + 5u -14=0
Resuelves la ecuación de segundo grado:
(u+7)(u-2)=0
Por el teorema del factor nulo
ab=0 sii a=0 o b=0
u+7=0 o u-2=0
u=-7 o u=2
Regresas el cambio de variable
2^x=-7 o 2^x=2
Lo que imolica a^x=a^y entonces x=y
X=2 y es na única solución pues en la otra al aplicar logaritmo tenemos el logaritmo de un numero negativo
La ecuación de la recta tangente es la derivada dy/dx=5x-1
Multiplicas ambos lados por dx para obtener dy=(dy/dx)dx el diferencia
Así tienes dy=(5x-1)dx
Integras ambos lados y tienes
y=(5/2)x^2 -x
Tenemos y=f(x)
Obtienes f(x+1)
f(x+1)=(5/2)(x+1)^2-(x+1)
Ahora
Derivamos
df(x+1)/dx= 5(x+1)*1-1
df(x+1)/dx=5(x+1)-1 así tienes df(x+1)/dx=5x+4 por lo tanto y=5x+4
Si lo haces con la función que ya tienes se puede realizar pues la función f se desplaza sobre el eje
Tengo una duda. Hoy en el examen de matemáticas de geometría, en un ejercicio daban la recta (en el espacio) en forma continua. Entonces la duda me vino cuando en el último = ponía: z-2 ... Pregunto yo, ¿la coordenada del vector ahí es 1 o 0 o qué es? En la vida había visto una forma continua sin denominador....