Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Recuerda que la distancia entre el eje OX y un punto de coordenadas P(x,y) es igual a |y|.

Luego, llamemos A(a,b) al punto perteneciente a la recta cuya distancia al eje OX es igual a |b|,

y observa que las coordenadas del punto a cumplen la relación: 3a - 4b + 8 = 0.

Luego, tenemos el sistema:

|b| = 5

3a - 4b + 8 = 0,

luego, observa que a partir de la primera ecuación tenemos dos opciones:

1) b = - 5,  reemplazamos en la segunda ecuación y queda:

3a + 20 + 8 = 0, de donde podemos despejar: a = - 28/3, y tenemos el punto de coordenadas: A₁(-28/3,-5);

2) b = 5,  reemplazamos en la segunda ecuación y queda:

3a - 20 + 8 = 0, de donde podemos despejar: a = 4, y tenemos el punto de coordenadas: A₂(4,5).

Espero haberte ayudado.

y-3=m·(x-1)

P(5,1)

1-3=m·(5-1)

-2=m·4
m = -2/4 = -1/2

y-3=-1/2·(x-1)

Al ser paralelas tienen la misma pendiente

5x-4y+8=0 

5x+8=4y

y=(5x+8)/4

y = 5/4 x +2

m=5/4

y-3=5/4·(x-1)

Al ser perpendiculares la pendiente de una es la opuesta de la inversa de la otra.   m = -1/m'

x-3y+1=0

x+1=3y

3y=x+1

y=(x+1)/3

y=x/3+1/3

m=1/3

m'=-3

y-3=-3·(x-1)

Distancia de un punto a una recta en R²

e^X>0, sea cual sea el exponente X.

Entonces, la ecuación se convierte en:  x-x^2 =0

317º=360º-43º

Entonces:  sin 317º= - sin 43º

En el 4º cuadrante las oredenadas (y, por tanto, los senos) son negativas.

Corrección del 1º:

Del 2º:

Como los vectores (a + b) y (a - b) son perpendiculares, planteamos que su producto escalar es igual a cero:

(a + b)•(a - b) = 0, distribuimos y queda:

a•a - a•b + b•a - b•b = 0, cancelamos los términos centrales (recuerda que el producto escalar es conmutativo) y queda:

a•a - b•b = 0 (1).

Luego, desarrollamos cada término por separado:

a•a = (2u - v)•(2u - v) = distribuimos = 4u•u - 2u•v - 2u•v + v•v = reducimos términos semejantes =

= 4u•u - 4u•v + v•v = escribimos los vectores en función de sus componentes:

= 4<2,3>•<2,3> - 4<2,3>•<-3,0>v + <-3,0>•<-3,0> = resolvemos los productos escalares en los términos:

= 4*13 - 4*(-6) + 9 = 52 + 24 + 9 = 85 (2).

b•b = (-3u + kv)•(-3u + kv) = distribuimos = 9u•u - 3ku•v - 3kv•u + k²v•v = reducimos términos semejantes =

= 9u•u - 6ku•v + k²v•v = escribimos los vectores en función de sus componentes:

= 9<2,3>•<2,3> - 6k<2,3>•<-3,0> + k²<-3,0>•<-3,0> = resolvemos los productos escalares en los términos:

= 9*13 - 6k*(-6) + 9k² = 117 + 36k + 9k² (3).

Luego sustituimos las expresiones señaladas (2) (3) en la ecuación señalada (1) y queda:

85 - (117 + 36k + 9k²) = 0, distribuimos el segundo término y queda:

85 - 117 - 36k - 9k² = 0, reducimos términos semejantes, ordenamos términos y queda:

- 9k² - 36k - 32 = 0, multiplicamos por -1 en todos los términos de la ecuación y queda:

9k² + 36k + 32 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

a) k = (-36 + 12) / 18 = - 24/18 = - 4/3,

b) k = (-36 - 12) / 18 = - 48/18 = - 8/3.

Espero haberte ayudado.

https://www.youtube.com/watch?v=jZVaJFw3y3g

Observa que en el enunciado tienes la ecuación cartesiana implícita del plano paralelo al planto tangente buscado, cuyo vector normal tiene componentes: N = < 4 , 8 , 1 > (1).

Luego, haces pasaje de término en la ecuación de la superficie y tienes:

- x²(1 - 2y) + z = 0, que es la ecuación cartesiana implícita de una superficie de nivel de la función cuya expresión es:

f(x,y,z) = - x²(1 - 2y) + z, que es diferenciable en R³.

Luego, tenemos que el vector gradiente de la función es perpendicular a la superficie de nivel en todos sus puntos, por lo que tenemos:

∇f = < -2x(1 - 2y) , 2x² , 1 > (2).

Luego, tenemos que el vector normal al plano es paralelo al gradiente de la función, y para determinar los puntos, comparamos las componentes de los vectores y, como la terceras componentes son iguales, planteamos:

∇f = N, sustituimos y queda:

< -2x(1 - 2y) , 2x² , 1 > = < 4 , 8 , 1 >,

luego, por igualdad entre vectores, igualamos componente a componente y queda el sistema:
-2x(1 - 2y) = 4

2x² = 8

1 = 1,

luego, despejamos en la segunda ecuación y tenemos dos opciones:

1) x = - 2, reemplazamos en la primera ecuación y queda:

4(1 - 2y) = 4, de donde despejamos: y = 0,

luego reemplazamos en la ecuación explícita de la superficie y queda: z = 4(1 - 0) = 4,

por lo que tenemos el punto de contacto: A(-2,0,4);

2) x = 2, reemplazamos en la primera ecuación y queda:

- 4(1 - 2y) = 4, de donde despejamos: y = 1,

luego reemplazamos en la ecuación explícita de la superficie y queda: z = 16(1 - 2) = - 16,

por lo que tenemos el punto de contacto: B(2,1,-16).

Por lo tanto, tenemos dos planos tangentes que son paralelos al plano dado en el enunciado.

Espero haberte ayudado.