Gracias >.<

Tenemos la expresión, de acuerdo con la definición de logaritmo en base a de un número real positivo x:

x = a^log_a(x), luego tomamos logaritmo en base b en ambos miembros y queda:

log_b(x) = log_b( a^log_a(x) ), aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el segundo miembro y queda:

log_b(x) = log_a(x) * log_b(a), hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

log_b(x) / log_b(a) = log_a(x), escribimos la ecuación de derecha a izquierda y queda:

log_a(x) = log_b(x) / log_b(a),

que es la fórmula que debemos aplicar para obtener el logaritmo en base a de un número real positivo x, a partir de su logaritmo en base b.

Vamos con un ejemplo:

A partir del logaritmo en base 10 de 20:

log₁₀(20) ≅ 1,30103,

calcular el logaritmo en base 2 de 20 (dato: log₁₀(2) ≅ 0,30103).

Planteamos:

log₂(20) = aplicamos la fórmula de cambio de base = log₁₀(20) / log₁₀(2) = reemplazamos = 1,30103 / 0,30103 ≅ 4,32193.

Espero haberte ayudado.

1) Consulta con tus docentes por la ecuación del enunciado, ya que no queda determinado un volumen en el primer octante.

2) Puedes plantear con integrales dobles:

V = ∫∫_R ( √(x²+y²) - 0 )dxdy, con R: x²+y²≤4, luego pasas a coordenadas polares (recuerda: |J| = r) y queda:

V = ∫∫_R√(r²)r drdθ = ∫∫_R r² drdθ, con R: 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π.

3) Planteamos, para hallar las ecuaciones de la curva intersección entre las superficies, la eliminación de z entre las expresiones de sus ecuaciones, sustituimos en la segunda ecuación y queda:

x² + y² + x² + y² = 18, reducimos términos semejantes y queda: 2x² + 2y² = 18, dividimos por 2 en todos los términos y queda: x² + y² = 9 (1), luego sustituimos en la primera ecuación (o en la segunda) y queda: z = 9 (2), por lo que concluimos que la curva intersección entre las superficies es una circunferencia de radio 3, con centro sobre el eje OZ, incluida en el plano de ecuación señalada (2).

Luego, si proyectamos sobre el plano XY, tenemos a una circunferencia similar, que es frontera de la región R descrita por la inecuación: x² + y² ≤ 9.

Luego, si planteamos el volumen con integrales dobles, tenemos:

V = ∫∫_R ( (18 - x² - y²) - (x² + y²) )dxdy = ∫∫R ( 18 - 2(x² + y²) )dxdy, luego pasamos a coordenadas polares (recuerda: |J| = r) y queda:

V = ∫∫R (18 - 2r²)rdrdθ  =  ∫∫R (18r - 2r³) drdθ , con R; 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π.

Observa que en ambos ejercicios tenemos sólidos limitados por superficies con eje de simetría z, por lo que se facilita el cálculo de los volúmenes con integrales dobles en coordenadas polares o, si lo prefieres con integrales triples en coordenadas cilíndricas de eje z.

Espero haberte ayudado.

Nos podrias explicar paso a paso esos ejercicios ya que, este ramo nos tiene locos y en verdad nos cuesta bastante entender como realizar los cambios de variables o plantear cuales con los limites de integracion. con Angel somos compañeros y nos ayudaria para el examen que es en unos dias y nos cuesta conseguir ayuda por que todos estan muy ocupados por eso pedimos axulio de ante mano muchas gracias.

Está todo muy bien hecho.

Lamento de todo corazon no poder ayudarte, pero unicoos (por ahora) solo llega hasta bachiller con matemáticas, física y química. Tu duda se da en la "uni". Espero lo entiendas... Como a veces hago alguna excepción y además hay muchos enlaces de teoría y ejercicios resueltos, te recomiendo le eches un vistazo a la seccion MATEMATICAS, UNIVERSIDAD de la web

http://www.zweigmedia.com/utilities/lpg/index.html?lang=en

Para hallar la pendiente de la recta tangente debes evaluar la derivada de la función. Y para plantear la derivada de la función, debes aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, lo haces y queda:

F ' (x) = ( (x²)³ - 1 )/( (x²)³ + 4 )*2x + 0 = 2x(x⁶ - 1)/(x⁶ + 4).

Luego evaluamos para x₀ = 2 y tenemos: m = F ' (2) = 4(63)/(68) = 63/17.

Luego, observa que al evaluar la función para x₀ = 2, tenemos: y₀ = F(2) = 0, porque en la expresión de la función los límites de integración son iguales.

Luego, tenemos que las coordenadas del punto de tangencia son: (2,0), por lo que planteamos la ecuación cartesiana de la recta tangente:

y = m(x - x₀) + y₀, reemplazamos y queda:

y = (63/17)(x - 2) + 0, distribuimos, cancelamos el término nulo y queda:

y = (63/17)x - 126/17.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias Antonio, me ha servido! Lo unico que no me queda claro es que pasa con el 2 que me quede fuera de la intergral. Y por otra parte cuales seria los ceros de esa funcion ya que despues me pide calcular maximos y minimos. Muchas gracias

Con tu última observación, has detectado un error en el desarrollo del trabajo. Donde decimos:

"Luego, observa que al evaluar la función para x0 = 2, tenemos" corregimos: 

y0 = F(2) = 0 + 2 = 2, porque en la expresión de la función los límites de integración son iguales.

Luego, el punto de tangencia tiene coordenadas (2,2), y debemos corregir en la ecuación de la recta tangente.

¡Muchas gracias por haber observado!

Luego, para el planteo de máximos y mínimos tenemos:

F ' (x) = 0, sustituimos y queda la ecuación:

2x(x6 - 1)/(x6 + 4) = 0, hacemos pasaje de divisor (observa que es distinto de cero) como factor y queda:

2x(x6 - 1) = 0, luego por anulación de un producto tienes dos opciones:

a) 2x = 0, b) x6 - 1 = 0,

y puedes continuar con la tarea.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias a usted por tomarse el tiempo de corregir el ejercicio. La verdad que me ha ayudado muchisimo ya que lo necesito para rendir un final. 

Muchas gracias Antonio!

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

a) Estudiamos el denominador: observa que -1 es raíz, por lo que aplicamos la Regla de Ruffini y queda:

x³ - x² + x + 3 = (x + 1)(x² - 2x + 3), y observa que el segundo factor no tiene raíces reales, por lo que planteamos la descomposición en fracciones parciales:

a/(x + 1) + (bx + c)/(x² - 2x + 3) = ( a(x² - 2x + 3) + (bx + c)(x + 1) ) / (x + 1)(x² - 2x + 3) = (x² + 5) / (x + 1)(x² - 2x + 3), 

luego comparamos numeradores, evaluándolos para tres valores de x:

para x = -1, queda: 6a = 6, de donde tenemos: a = 1;

para x = 0, queda: 3a + c = 5, de donde tenemos: c = 2.

para x = 1, queda: 2a + 2(b + c) = 6, de donde tenemos: b = 0.

Luego, la integral queda expresada como suma de dos integrales:

I = ∫ ( 1/(x + 1) )dx + 2 ∫ ( 1/(x² - 2x + 3) )dx.

Observa que la primera integral es directa, y que la segunda se puede resolver mediante una sustitución trigonométrica. Estudiamos el denominador:

x² - 2x + 3 = (x² - 2x + 1) + 2 = (x - 1)² + 2, luego puedes proponer la sustitución: x - 1 = √(2)tanw, y continuar la tarea a partir de aquí.

b) Proponemos la sustitución: x = w² + 2, de donde tienes: dx = 2wdw, luego sustituyes y la integral queda:

I = ∫ ( √(w²)2w/(w² + 3) )dw = 2 ∫ ( w² / (w² + 3) )dw = 2 ∫ ( 1 - 3/(w² + 3) )dw = 2 ∫ 1dw - 6 ∫ ( 1/(w² + 3)dw.

Observa que la primera integral es directa, y que la segunda se puede resolver mediante una sustitución trigonométrica: w = √(3)tanz, y continuar la tarea a partir de aqyí.

Espero haberte ayudado.

Antonio gracias por las respuestas. Pero sabes que aun no me han explicado ep metodo de sustituciin trigonometrica... se podra hacerde otra manera?. Espero tu respuesta.

antonio podrias decirme que hiciste sustitucion hiciste con WΛ2 para que te diera 1-3??