de 1º son 1/4 del total

de 2º son 1/6 del total

de 3º son 5/16 del total

por lo que los de 1º, 2º y 3º representan 1/4 + 1/6 + 5/16 = 35/48

y los de 4º  serán 1 - 35/48 = 13/48 

sabemos que 1/4 del total son 200, por lo que el total serán 800 alumnos

f(x)= ³√x  en [-1,1]

hipótesis

f(x) es continua en ℛ por lo que será en [-1,1]

f'(x)= 1/(3³√x²)

f(x) no es derivable en  (-1,1) pues f'(0) no existe

por lo tanto no se cumplen las hipótesis del teorema

b)

F(x) = x*lnx,

observa que está definida y es continua en el intervalo cerrado: [1,e];

F ' (x) = 1*lnx + x*(1/x), resuelves términos, y queda:

F ' (x) = lnx + 1,

y observa que está definida en el intervalo abierto (1,e);

por lo que tienes que se cumplen las dos hipótesis del Teorema del Valor Medio de Lagrange;

y observa que tienes los valores de la función en los extremos del intervalo cerrado:

F(1) = 1*ln(1) = 1*0 = 0,

F(e) = e*ln(e) = e*1 = 1.

Espero haberte ayudado.

F(e) =e. lne = e.1 = e  (no da error)     F(-1)=³√-1=-1 (no problema).    Lagrange se cumple en la función b y no se cumple en la c. La razón te la doy a continuación:

Hola Mariano, no se ve bien tu ejercicio, decirte que la solución es 666,666 litros

en el jugo viejo de 1000 litros tenemos que 300 litros es jugo natural (30%)

en x litros de jugo concentrado tenemos que 0,8x es jugo natural (80%)

por lo tanto en 1000+x de jugo final tenemos que 300+0,8x es jugo natural

y como debe ser la mitad del total (50%) tenemos que:

2(300+0,8x)=1000+x

resolvemos y punto

Puedes designar con x a la edad actual de Manuel, y puedes designar con y a la edad edad actual de su padre.

Luego, puedes plantear las ecuaciones

x - 5 = (1/5)*(y - 5) (1) ("hace cinco años la edad de Manuel era la quinta parte de la edad de su padre"),

x + 13 = (1/2)*(y + 13) (2) ("dentro de trece años la edad de Manuel será la mitad de la edad de su padre").

Luego, multiplicas por 5 en todos los términos de la ecuación señalada (1), y queda:

5x - 25 = y - 5, restas y en ambos miembros, y sumas 25 en ambos miembros, y queda:

5x - y = -5 + 25, reduces términos numéricos, y queda:

5x - y = 20 (3).

Luego, multiplicas por 2 en todos los términos de la ecuación señalada (2), y queda:

2x + 26 = y + 13, restas y en ambos miembros, y restas 26 en ambos miembros, y queda:

2x - y = 13 - 26, reduces términos numéricos, y queda:

2x - y = -13 (4).

Luego, tienes el sistema:

5x - y = 20 (3),

2x - y = -13 (4);

luego, restas miembro a miembro, y término a término la ecuación señalada (4) de la ecuación señalada (3), y queda:

3x = 33, divides por 3 en ambos miembros, resuelves, y queda:

x = 11, que es la edad actual de Manuel;

luego, reemplazas este valor remarcado en la ecuación señalada (3), y queda:

5(11) - y = 20, resuelves el primer término, y queda:

55 - y = 20, restas 55 en ambos miembros, y queda:

-y = 20 - 55, reduces términos numéricos, y queda:

-y =-35, multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

y = 35, que es la edad actual del padre.

luego, puedes verificar que la solución formada por los dos valores remarcados es válida si los reemplazas en la ecuación señalada (4) (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.

Y de este ejercicio me podrían guiar como hacerlo por favor 

Observa que el intervalo de variación para x es de 0 a 4 entre los vértices A y B, y de 4 a 8 ente los vértices B y C;

luego, tienes que el dominio de la función es el intervalo cerrado: D = [0,8],

y observa que puedes palntear que la expresión de la función será, en principio, en dos trozos,                                          con el valor de corte: x_c = 4.

Luego, tienes para el primer trozo, que la figura es un triángulo, cuya base mide 4 cm y su altura mide x (en cm), por lo que la expresión de su área es:

A₁ = 4*x/2, resuelves, y queda:

A₁ = 2*x (1) (en cm²), cuyo intervalo de validez es: I₁ = [0,4).

Luego, observa que para el valor de corte tienes un triángulo rectángulo isósceles, cuya base mide 4 y su altura mide 4, por lo que la expresión de su área (recuerda: A = b*h/2 para un triángulo) es:

A_c = 4*4/2, resuelves, y queda:

A_c = 8 (*) (en cm²), cuyo conjunto de validez es: I_c = {4}.

Luego, tienes para el segundo trozo, que la figura es un trapecio rectangular, cuya base mayor mide 4 cm, cuya altura mide 4 cm, y cuya base menor (presta atención aquí) mide (x - 4) cm, por lo que la expresión de su área (recuerda la expresión del área limitada por un trapecio A = (B + b)*h/2) es:

A₂ = ( 4 + (x - 4) )*4/2, resuelves, y queda:

A₂ = 2*x (2), cuyo intervalo de valide es: I₂ = (4,8].

Luego, la expresión de la función hasta ahora queda:

f(x) =

2*x                      con x ∈ [0,4),

8                          con x = 4,

2*x                      con x ∈ (4,8];

y aquí observa que las expresiones de los dos trozos son iguales y corresponden a una función continua, y observa también que el límite para x tendiendo a 4 por izquierda y por derecha de la función es igual a 8, y como este valor es igual al valor de la función en el punto de corte, entonces tienes que la función es continua en dicho valor y, como es continua en todos los demás valores de su dominio, entonces puedes concluir que la función es continua y se puede definir en un solo trozo, por lo que su expresión queda:

f(x) = 2*x, y su dominio es: D = [0,8].

Espero haberte ayudado.

Te ayudo con la expresión de la función de densidad de probabilidad del primer ejercicio.

1)

Tienes la expresión de la función de densidad de probabilidad:

f(x,y) = m, con m > 0,

y tienes las inecuaiones que determinan su dominio:

x > 0,

(2-x) ≤ y ≤ (2-x)^1/4;

luego, si trazas las gráficas de las curvas cuyas ecuaciones son: y = 2-x, e y = (2-x)^1/4, tienes que éstas se cortan en los puntos cuyas expresiones son: (1,1) y (2,0), que para el intervalo: 0 ≤ x < 1 tienes que que la primera curva toma valores mayores que la segunda, y que para el intervalo: 1 ≤ x ≤ 2 tienes que la segunda curva toma valores mayores que la primera, y observa que el dominio significativo para esta función es el intervalo cuya expresión hemos remarcado.

Luego, planteas para la función de densidad de probabilidad:

_-∞∫^+∞_-∞∫^+∞ f(x,y)*dy*dx = 1, 

aquí reemplazas expresiones, y queda:

₁∫²_(2-x)∫^{(2-x)^(1/4)} m*dy*dx = 1,

extraes el factor constante de la integral, integras para la variable y (observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

m*₁∫² [y]*dx = 1,

evalúas, y queda

m*₁∫² ( (2-x)^1/4 - (2-x) )*dx = 1,

distribuyes el signo en el segundo término del argumento de la integral, y queda:

m*₁∫² ( (2-x)^1/4 - 2 + x)*dx = 1,

integras, observa que debes hacer una sustitución (o cambio de variable), para el primer término, y queda:

m*[ -(4/5)*(2-x)^5/4 ] = 1,

evalúas, y queda:

m*( -(4/5)*(2-2)^5/4 + (4/5)*(2-1)^5/4 ) = 1,

resuelves términos en el agrupamiento, y queda:

m*( 0 + 4/5) = 1, 

cancela el término nulo en el agrupamiento, y luego despejas:

m = 5/4;

luego, planteas la expresión de la función de densidad de probabilidad, y queda:

f(x,y) = 5/4, con: (2-x) ≤ y ≤ (2-x)^1/4, 1 ≤ x ≤ 2.

Espero haberte ayudado.