Lo interpreto como figura en el gráfico

Debes corregir el planteo para determinar el dominio de la función f (observa que la función f toma valores positivos).

Has planteado bien la condición:

2 - √(x) ≥ 0, y observa que debe cumplirse también: x ≥ 0 (1),

restas 2 en ambos miembros, y queda:

-√(x) ≥ -2, 

multiplicas por -1 en ambos miembros (observa que cambia la desiguladad), y queda:

√(x) ≤ 2,

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

x ≤ 4 (2);

luego, con las condiciones señaladas (1) (2), tienes que el dominio de la función f queda:

D_f = [0,4].

Vamos con la función compuesta:

(g o f)(x) = g( f(x) ) =

aquí observa que debe cumplirse la condición: f(x) ≠ 0, por lo que tienes: x ≠ √(2) (3)

= g( √( 2-√(x) ) ) = 1 / ( √( 2-√(x) ) )² = 

simplificas índice y exponente en el denominador

= 1 / √( 2-√(x) ),

aquí observa que debe cumplirse la condición: √(x) ≠ 2, por lo que tienes: x ≠ 4 (4);

luego, con la expresión del dominio f y las condiciones señaladas (3) (4), tienes que el dominio de esta función compuesta queda:

D_gof = [ 0 , √(2) ) ∪ ( √(2) , 4 ).

Plantea la ecuación:

f(x) = y,

sustituyes la expresión de la función f en el primer miembro, y queda:

√( 2-√(x) ) = y,

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

2-√(x) = y²,

restas 2 en ambos miembros, y queda:

-√(x) = y² - 2,

multiplicas por -1 en todos los términos, y queda:

√(x) = -y² + 2,

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

x = (-y² + 2)² (5),

que es la ecuación explícita de las abscisas en función de las ordenadas de los puntos de la gráfica de la función f;

luego, recuerda que los valores extremos del dominio son:

x = 0, de donde tienes que y (recuerda que es positivo) queda: y = √(2),

x = 4, de donde tienes que y queda: y = 2;

por lo tanto tienes que la imagen de la función f es:

Im_f = [√(2),2].

Luego, de acuerdo con la definición de función inversa, permutas variables en la ecuación señalada (5), y queda:

y = (-x² + 2)² (6),

luego planteas la ecuación:

f^-1(x) = y,

sustituyes la expresión señalada (6), y queda:

f^-1(x) = (-x² + 2)²,

que es la expresión de la función inversa de la función f, 

cuyo dominio es:

D_f^-1 = Im_f = [√(2),2],

y cuya imagen es:

Im_f^-1 = D_f=  [0,4].

Espero haberte ayudado.

Hola Antonio! Serías tan amable de explicarme un poquito más las condiciones del apartado (3) y (4) del desarrollo de la función compuesta.
Desde ya muchas gracias!!!
Leilyta

Hola Antonio! Muchas gracias por tu respuesta, estuve leyendo varias veces el desarrollo y lo entendí, me ayudó muchísimo!!! 

Saludos! Leily

Pon foto del enunciado original, por favor.

Este es con casi idéntico recinto

Mírate los temas por orden dsde no lo tengas consolidado