Observa que el volumen sumergido es una quinta parte del volumen exterior, por lo tanto tienes:

V_s = (1/5)*(4/3)π*R_e³ = (4/15)*π*R_e³.

Observa que la Masa del objeto puede expresarse como la densidad del material que lo conforma, multiplicado por la diferencia entre su volumen exterior y su volumen interior:

M = δ_Al*(V_e - V_i) = δ*( (4/3)π*R_e³ - (4/3)π*R_i³ ) = (4/3)π*δ_Al*( R_e³ - R_i³ ).

Luego, plantea la condición de equilibrio entre el peso del cuerpo y el empuje del líquido:

P = E, sustituyes las expresiones del peso y del empuje, y queda:

M*g = δ_L*V_s*g, haces pasaje de factor como divisor, sustituyes la expresión de la masa del cuerpo, y queda:

(4/3)π*δ_Al*( R_e³ - R_i³ ) = δ_L*V_s, sustituyes la expresión del volumen sumergido, y queda:

(4/3)π*δ_Al*( R_e³ - R_i³ ) = δ_L*(4/15)*π*R_e³, multiplicas en ambos miembros por 15/(4π), y queda:

5*δ_Al*( R_e³ - R_i³ ) = δ_L*R_e³, distribuyes en el primer miembro, y queda:

5*δ_Al*R_e³ - 5*δ_Al*R_i³ = δ_L*R_e³, haces pasaje de término, y queda:

- 5*δ_Al*R_i³ = δ_L*R_e³ - 5*δ_Al*R_e³, multiplicas en todos los términos de la ecuación por -1, y queda:

5*δ_Al*R_i³ = - δ_L*R_e³ + 5*δ_Al*R_e³, extraes factor común en el segundo miembro, y queda:

5*δ_Al*R_i³ = (- δ_L + 5*δ_Al) *R_e³, haces pasajes de factores como divisores, y queda:

R_i³ = (- δ_L + 5*δ_Al) *R_e³/(5*δ_Al), haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

R_i = ∛( (- δ_L + 5*δ_Al) *R_e³/(5*δ_Al) ), extraes el factor cúbico fuera de la raíz cúbica, y queda:

R_i = ∛( (- δ_L + 5*δ_Al) )/(5*δ_Al) )*R_e.

Luego, reemplazas valores, y queda:

R_i = ∛( (- 1 + 5*2,7)/(5*2,7) )*20 = ∛(12,5/13,5)*20 ≅ 0,929243*20 ≅ 18,404852 cm.

Espero haberte ayudado.

Puedes plantear las expresiones de los números complejos en forma binómica:

z = a + bi,

w = c + di,

con a, b, c y de números reales.

Luego, tienes en tu enunciado:

z - w = a + bi - (c + di) = a + bi - c - di = (a-c) + (b-d)i es un número real,

por lo que tienes que su parte imaginaria es igual a cero:

b - d = 0, haces pasaje de término, y queda: b = d (1).

z*w = 1+3i, sustituyes expresiones, y queda: (a+bi)*(c+di) = 1+3i (2).

z + w = a + bi + c + di = (a+c) + (b+d)i, cuya parte real es igual a tres,

por lo que tienes: a + c = 3, haces pasaje de término, y queda: a = 3 - c (3).

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (3) en la ecuación señalada (2), y queda:

( (3-c) + di )*(c + di) = 1 + 3i, desarrollas el primer miembro, y queda:

c*(3-c) - d² + d*(3-c) + c*d = 1 + 3i,

luego, por igualdad entre números complejos, tienes el sistema de ecuaciones:

c*(3-c) - d² = 1

d*(3-c) + c*d = 3,

desarrollas los primeros miembros, reduces términos semejantes, y queda

3c - c² - d² = 1

3d = 3, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: d = 1, reemplazas en la ecuación señalada (1), y queda: b = 1;

luego, reemplazas en la primera ecuación, haces pasaje de término, ordenas términos, y queda:

-c² +3c - 2 = 0, multiplicas a todos los términos de la ecuación por -1, y queda:

c² - 3c + 2 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, cuya soluciones son:

1°)

c = 1, reemplazas en la ecuación señalada (3), y queda: a = 2,

luego, las expresiones de los números complejos quedan:

z = 2 + i,

w = 1 + i;

2°)

c = 2, reemplazas en la ecuación señalada (3), y queda: a = 1,

luego, las expresiones de los números complejos quedan:

z = 1 + i,

w = 2 + i.

Luego, observa que, más allá de sus nombres, tienes que la solución es única, ya que en las dos opciones se ha llegado a los mismos números complejos.

Espero haberte ayudado.

Versión corregida (después de ver la de Antonio Silvio):

Integrales racionales

Cambio de variable:  t=1+2^x

El denominador es constante. Y   A/B  es lo mismo que (1/B) A

Manda tu intento de resolución y te ayudamos.

**Si estás hablando de swimmers (=nadadores), estos no suelen aterrizar en bancos :D

where B lands on the opposite bank ≠ donde B aterriza en el banco opuesto

where B lands on the opposite bank = donde B llega a la orilla opuesta

https://www.aprendeinglessila.com/2013/01/false-friends-los-falsos-amigos-del-ingles-2/

Aquí tienes el método que pedías:

https://www.unicoos.com/video/matematicas/3-eso/rectas-y-vectores/rectas/ecuacion-de-la-recta-en-r

https://www.unicoos.com/video/matematicas/3-eso/rectas-y-vectores/rectas/distancia-de-un-punto-a-una-recta-en-r-2

a)

y=((y2-y1)/(x2-x1))*(x-x1) +y1

y=((-4-0)/(5-0))*(x-0) +0

y=(-4/5)x  es la ecuación de la recta que sigue el nadador A

La forma en lo que lo has hecho es correcta también.

Porque es positivo si al final sale -4/5???

Error mío :)

ok, y el B seria, con la inclinación del a(porque son perpendiculares), y el punto b y aplicamos la formula y-y1=m(x-x1) no?

En el a, si sustituyes x e y por o(0,0), debería dar 0 y no da 

"¿y el B seria, con la inclinación del a(porque son perpendiculares), y el punto b y aplicamos la formula y-y1=m(x-x1) no?"

Sí

"En el a, si sustituyes x e y por o(0,0), debería dar 0 y no da "

Mi forma

 y=(-4/5)*x   en  x=0   ---->  y(0)=(-4/5)*(0)   ---->y(0)=0       -----> (0,0)

Tu forma

x=0   ----> 4x+5y=0   ----> 4*0+5y=0    ----> 0+5y=0  -----> 5y=0 ----->  y=0/5 = 0     -----> (0,0)

Parece que sí da...

Vas bien, continuamos:

= ∫x^1-(1/2)dx + ∫3x^3-(1/2)dx=

∫x^1/2dx + ∫3x^5/2dx=

∫x^1/2dx + 3*∫x^5/2dx=

(x^3/2)/(3/2) + 3*((x^7/2)/(7/2)) + C =

(2√(x³))/3 + (6√(x⁷))/7 + C 

como llegas a 7/2???...no entiendo ese paso..

ya entendí: (3/1)/(7/2)= 6/7

y... 5/2+1= 7/2

Exacto!

Observa que tienes una integral impropia, debido a que la función no está definida en x = -1.

Luego, puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

1 + x = w, de donde tienes:

x = w - 1, y también tienes:

dx = dw,

y observa que el intervalo de integración queda: -1 ≤ w ≤ 1, con un punto impropio: w = 0.

Luego, tienes la integral:

I = _-2∫⁰ dx/|∛(x+1)| = sustituyes = _-1∫¹ dw/|∛(w)|.

Luego, plantea la suma de integrales:

I = I₁ + I₂ = _-1∫⁰ dw/|∛(w)| + ₀∫¹ dw/|∛(w)|.

Luego, plantea cada integral por separado, y reemplaza el límite impropio por una indeterminada:

I₁ = _-1∫^a dw/|∛(w)| = observa que la función toma valores negativos:

= _-1∫^a dw/(-∛(w)) = - _-1∫^a w^-1/3*dw = - (3/2)*[w^2/3] = evalúas = - (3/2)*( a^2/3 - (-1) ) = - (3/2)*(a^2/3 + 1);

luego, tomas el límite para a tendiendo a 0 por la izquierda, y queda:

I₁ = Lím(x→0-) ( - (3/2)*(a^2/3 + 1) ) = -3/2.

I₂ = _b∫¹ dw/|∛(w)| = observa que la función toma valores positivos:

= _b∫¹ dw/∛(w) = _b∫¹ w^-1/3*dw = (3/2)*[w^2/3] = evalúas = (3/2)*( 1 - b^2/3 );

luego, tomas el límite para b tendiendo a 0 por la derecha, y queda:

I₂ = Lím(x→0+) (3/2)*( 1 - b^2/3 ) = 3/2.

Luego, tienes finalmente:

I = I₁ + I₂ = -3/2 + 3/2 = 0.

Espero haberte ayudado.

Pon los enlaces de los vídeos a los que te refieres y como excepción (ya que este es el foro de matemáticas) te mandamos material o te decimos donde puedes encontrarlo.

Muchas gracias Ángel, lo escribí aquí debido a que no hay foro de tecnologia.Gracias por tu ayuda!!!

Yo me refería a los de palancas de mecanismos