Nicolas, el enunciado debería de decir cuánto litros contiene el camión.

Seguro que muchos!!!!

no lo dice

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Debes separar por intervalos al integrar 

ortonormal

Muchas gracias !!

Puedes proponer que el corral es rectangular, y puedes designar con y a la longitud del lado paralelo al muro, y puedes designar con x a la longitud de los dos lados perpendiculares al muro.

Luego, tienes que la longitud de de la cerca a utilizar queda expresada:

L(x,y) = 2*x + y (*) (observa que x e y toman valores estrictamente positivos),

que es la expresión de una función de dos variables diferenciable,

Luego, plantea para el área del corral:

x*y = 400, y aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: y = 400/x (1),

luego, sustituyes en la expresión de la función, y queda:

L(x) = 2*x + 400/x (2), que es la expresión de la longitud de la cerca en función de la longitud de los lados perpendiculares al muro;

luego derivas con respecto a x, y queda:

L ' (x) = 2 - 400/x² (3);

luego vuelves a derivar, y queda:

L ' ' (x) = 800/x³ (4).

Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

L ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (2) y queda:

2 - 400/x² = 0, haces pasaje de término, y queda:

2 = 400/x², haces pasaje de divisor como factor, y queda:

2*x² = 400, divides por 2 en ambos miembros, y queda:

x² = 200, haces pasaje de potencia como raíz, y queda (observa que tomamos solamente la solución positiva):

x = √(200) = √(100*2) = √(100)*√(2) = 10*√(2) m;

luego reemplazas en la ecuación señalada (4) y queda:

L ' ' ( √(200) ) = 800/( √(200) )³ > 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función L es cóncava hacia arriba para este punto crítico,

y puedes concluir que la función presenta un mínimo en dicho punto;

luego reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), y queda:

y = 400/√(200) = 400*√(200)/( √(200) )² = 400*√(200)/200 = 2*√(200) = 2*10*√(2) = 20*√(2) m;

luego, evalúas en la expresión señalada (*) y queda:

L(10*√(2) , 20*10*√(2) ) = 2*10*√(2) + 20*√(2) = 20*√(2) + 20*√(2) = 40*√(2) m,

que es la longitud mínima de la cerca.

Observa que hemos empleado el método de reducción de dos variables a una variable,

ya que las expresiones de las derivadas parciales primeras de la función cuya expresión hemos señalada (*) quedan:

L_x = 2, L_y = - 1;

y las expresiones de las derivada parciales segundas quedan:

L_xx = 0, L_xy = 0, L_yx = 0, L_yy = 0,

que conducen a un discriminante hessiano:

D(x,y) = L_xx*L^yy - L_xy*L_yx = 0*0 - 0*0 = 0 - 0 = 0 para todo par de valores (x,y),

por lo que el criterio de las derivadas parciales segundas no decide para este problema.

Espero haberte ayudado.

Puedes designar con x, y, z al ancho, al largo y a la altura de la caja (que suponemos tiene forma de prisma rectangular recto), respectivamente, expresados en dm.

Puedes llamar C_t al costo de la tapa, C_b al costo de la base y C_l al costo de los lados.

Luego, plantea las expresiones de los costos (observa que el área de la base y de la tapa es x*y, que dos lados tienen área x*z, y que los otros dos tienen área y*z):

C_t = 0,10*x*y,

C_b = 0,20*x*y,

C_l = 0,02*(2*x*z + 2*y*z) = 0,04*x*z + 0,04*y*z.

Luego, plantea la expresión del costo total:

C = C_t + C_b + C_l, sustituyes expresiones, y tienes la expresión de la función costo total, que depende de tres variables:

C(x,y,z) = 0,10*x*y + 0,20*x*y + 0,04*x*z + 0,04*y*z,

reduces términos semejantes, y queda:

C(x,y,z) = 0,30*x*y + 0,04*x*z + 0,04*y*z (1) (observa que x, y, z toman valores estrictamente positivos, ya que expresan longitudes):

Luego, plantea para el volumen de la caja, cuyo valor tienes en tu enunciado:

x*y*z = 60, haces pasajes de factores como divisores, y queda:

z = 60/(x*y) (2), luego sustituyes en la expresión señalada (1) a fin de reducir variables, y queda:

C(x,y) = 0,30*x*y + 0,04*x*60/(x*y) + 0,04*y*60/(x*y),

resuelves y simplificas en los dos últimos términos, y queda:

C(x,y) = 0,30*x*y + 2,4/y + 2,4/x (3),

luego, plantea las expresiones de las derivadas parciales primeras:

C_x = 0,30*y - 2,4/x²

C_y = 0,30*x - 2,4/y²;

luego, plantea las expresiones de las derivadas parciales segundas:

C_xx = 4,8/x³

C_xy = 0,30

C_yx = 0,30

C_yy = 4,8/y³.

Luego, plantea la condición de punto estacionario:

C_x = 0

C_y = 0, 

sustituyes expresiones y queda el sistema de ecuaciones:

0,30*y - 2,4/x² = 0, de aquí despejas: y = 8/x² (4)

0,30*x - 2,4/y² = 0,

sustituyes la expresión señalada (4) en la segunda ecuación, y queda:

0,30*x - 2,4/(8/x²)² = 0, resuelves el segundo término, y queda:

0,30*x - 0,0375*x⁴ = 0, divides por 0,30 en todos los términos de la ecuación, y queda:

x - 0,125*x³ = 0, extraes factor común, y queda:

x*(1 - 0,125*x²) = 0, luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:

a)

x = 0, que no tiene sentido para este problema (recuerda que x debe tomar valores estrictamente positivos);

b)

1 - 0,125*x² = 0, haces pasaje de término, y queda:

- 0,125*x² = - 1, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

x² = 8, haces pasaje de potencia como raíz (observa que elegimos la solución positiva), y queda:

x = √(8) dm;

luego reemplazas en la expresión señalada (4) y queda:

y = 8/(√(8))² = 8/8 = 1 dm;

por lo que tienes que el punto A(√(8),1) es un punto estacionario.

Luego, evalúas las derivadas parciales segundas para el punto estacionario, y quedan:

C_xx = 4,8/x³ = 4,8/( √(8) )³ > 0

C_xy = 0,30 

C_yx = 0,30

C_yy = 4,8/1³ = 4,8;

luego, plantea el discriminante hessiano para el punto estacionario:

D = C_xx*C_yy - C_xy*C_yx, reemplazas valores, y queda:

D = ( 4,8/( √(8) )³ )*4,8 - 0,30*0,30 = 23,04/( √(8) )³ - 0,09 ≅ 0,93 > 0,

luego, de acuerdo con el criterio de las derivadas segundas, tienes que la función costo presenta un mínimo para el punto estacionario,

por lo tanto tienes que las dimensiones correspondientes son:

x = √(8) dm,

y = 1 dm,

reemplazas en la expresión señalada (2) y queda:

z = 60/(√(8)*1) = 60/√(8) = 60*√(8)/( √(8) )² = 60√(8)/8 = 7,5*√(8) dm;

luego reemplazas en la ecuación señalada (1) y queda:

C(√(8),1,7,5*√(8)) = 0,30*√(8)*1 + 0,04*√(8)*7,5*√(8) + 0,04*1*7,5*√(8), 

resuelves términos, y queda:

C( √(8) , 1,7 , 5*√(8) ) = 0,30*√(8) + 2,4 + 0,30*√(8) = (0,60*√(8) + 2,4) (en unidades monetarias),

que es el costo total mínimo para construir la caja.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).