Los lados de una piscina triangular hacen 20m, 25m y 30m. Encuentra los ángulos que forman entre sí los lados de la piscina
Llamemos A al vértice determinado por los dos primeros lados (de 20m y de 25m de longitud), y llamemos α a su ángulo interior, cuyo lado opuesto mide 30m de longitud.
Luego, puedes aplicar el Teorema del Coseno (revisa tus apuntes de clase) y tienes:
302 = 202 +252 - 2*20*25*cosα, resuelves términos y queda:
900 = 400 + 625 - 1000*cosα, haces pasajes de términos y queda:
1000*cosα = 125, haces pasaje de factor como divisor y queda:
cosα = 0,125, compones con la función inversa del coseno y queda:
α = 82,819°.
Luego, puedes proceder en forma similar para determinar las medidas de los demás ángulos interiores, puedes llamar B al vértice determinado por el primero y el tercero de los lados (cuyas longitudes son 20m y 30m), cuyo lado opuesto mide 25m, y una vez determinada la medida del ángulo correspondiente β, puedes calcular la medida del tercer ángulo por medio de la relación entre las medidas de los ángulos interiores de un triángulo:
α + β + γ = 180°.
Espero haberte ayudado.
Vamos con una orientación.
1) Designamos: A = {a,a}, y B = {a}.
Luego, debemos demostrar: a) A ⊆ B y b) B ⊆ A.
a) Observa que los dos elementos del conjunto A también pertenecen al conjunto B, por lo que tienes: A ⊆ B, y
b) observa que el elemento del conjunto B también pertenece al conjunto A, por lo que tenes: B ⊆ A,
luego, puedes concluir: A = B.
2) Designamos: A = {a,b}, y B = {b,a}.
Luego, debemos demostrar: a) A ⊆ B y b) B ⊆ A.
a) Observa que los dos elementos del conjunto A también pertenecen al conjunto B, por lo que tienes: A ⊆ B, y
b) observa que los dos elementos del conjunto B también pertenece al conjunto A, por lo que tenes: B ⊆ A,
luego, puedes concluir: A = B.
3) Designamos: A = {a}, y B = {b,c}.
Luego, tenemos como hipótesis: A = B, lo que significa que: (a) A ⊆ B y (b) B ⊆ A.
(a) Observa que el elemento del conjunto A también pertenece al conjunto b, por lo que tienes: a = b ∨ a = c;
(b) observa que los elementos del conjunto B también pertenecen al conjunto A, por lo que tienes b = a ∧ c = a;
luego, como las dos condiciones señaladas (a) y (b) deben cumplirse, puedes concluir: a = b = c.
Queda para que hagas la tarea de formalizar.
Espero haberte ayudado.
(a) {a,a}={a}
Para demostrar que dos conjuntos son iguales, tenemos que probar que cada conjunto es un subconjunto del otro (por tanto, tenemos que demostrar que {a, a} ⊆ {a} y {a} ⊆ {a, a}).
En primer lugar, {a} ⊆ {a, a} como que el único elemento de {a} es a, y tenemos que a ∈ {a, a}.
Después, el único elemento de {a, a} es {a}, y tenemos que a ∈ {a}. Por tanto, {a, a} ⊆ {a}.
Por tanto, {a, a} = {a}.
(b) {a, b} = {b, a}
De nuevo, queremos demostrar {a, b} ⊆ {b, a} y {b, a} ⊆ {a, b}.
Primero, {a, b} ⊆ {b, a} como que los elementos de {a, b} son a y b, y a,b ∈ {b, a}.
Después, los elementos de {b, a} son a y b. Como que a, b ∈ {a, b} tenemos que cada elemento de {b, a} esta en {a, b}. Por tanto, {b, a} ⊆ {a, b}.
En conclusión, {a, b} = {b, a}.
(c) {a} = {b, c} si y sólo si a = b = c
( → ) Suponemos que {a} = {b, c}. A partir de {b, c} = {a}, tenemos que {b, c} ⊆ {a}; por tanto, cada elemento de {b, c} tiene que estar contenido en {a}. Eso significa que b y c estan en {a}. Como que a es el único elemento de {a}, tenemos que a = b = c.
( ← ) A la inversa, suponemos que a = b = c. Después {b, c} = {a, a} y por el apartado (a) sabemos que {a} = {a, a}; por tanto {a} = {b, c}
Con un teodolito se miden las distancias entre las cumbres de tres colinas A, B y C. Encuentra los ángulos que forman entre si las cumbres, sabiendo que AB= 11 KM, BC= 8km y CA= 14 km