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El numero de parametros = numero de incognitas - numero de ecuaciones independientes.
El numero de ecuaciones independientes = rango(A)...

Observa que tienes la proposición, que puedes escribir: P(n): n² + n = 2p, con p ∉ N.

1°) P(1): 1² + 1 = 2p₁, resuelves el primer miembro y queda: 2 = 2p₁, de donde tienes: 1 = p₁, por lo que resulta Verdadera porque p₁ = 1 ∉ N.

2°) P(k): k² + k = 2p₂, con p₂ ∈ N, Hipótesis Inductiva que aceptamos que es Verdadera (observa que tenemos entonces que p₂ ∉ N).

3°) P(k+1): (k + 1)² + (k + 1) = 2p₃, Tesis Inductiva que tendremos que demostrar que es Verdadera (observa que tendremos que encontrar al número natural p₃ de su expresión).

Demostración, partimos desde el primero miembro de la ecuación de la Tesis Inductiva:

(k + 1)² + (k + 1) = desarrollamos = k² + 2k + 1 + k + 1 = ordenamos, agrupamos términos y reducimos términos semejantes:

= k² + k + 2k + 2 = aplicamos la Hipótesis Inductiva (y por ello sustituimos los términos remarcados):

= 2p₂ + 2k + 2 = extraemos factor común 2:

= 2(p₂ + k + 1) = 2p₃, y observa que p₃ = p₂ + k + 1 ∈ N porque p₃ es suma de los números naturales p₂ (que tenemos a partir de la Hipótesis Inductiva), k y 1,

por lo que hemos demostrado que la Tesis Inductiva es Verdadera.

Luego, de acuerdo con el Principio de Inducción Completa (5° axioma de Peano), tenemos que la proposición del enunciado es Verdadera para todos los números naturales.

Espero haberte ayudado.

Observa que la matriz A es cuadrada de orden 3, por lo que planteamos para que no admita inversa que su determinante debe ser igual a cero. Luego, desarrollas el determinante y queda:

|A| = (1 + 2m + m) - (1 + 2 + m²) = 1 + 3m - 3 - m² = - m² + 3m -2.

Luego planteamos la condición para que la matriz A no sea invertible:

|A| = 0, sustituimos y queda:

- m² + 3m -2 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son m = 1 y m =2.

Espero haberte ayudado.

Observa que la matriz A es cuadrada de orden 3, por lo que tenemos que para que admita inversa su determinante debe ser distinto de cero. Luego planteamos:

|A| ≠ 0,

luego resolvemos el determinante (observa que la matriz A es triangular superior, por lo que su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal, como ocurre con todas las matrices triangulares y diagonales), sustituimos y queda:

1*2*m ≠ 0, de donde despejamos: m ≠ 0.

Luego, la matriz A es invertible para todo valor de m que sea distinto de cero.

Espero haberte ayudado.

Observa que tratas con una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, de primer grado y homogénea, con coeficientes constantes:

y ' ' + 4y ' + 4 = 0, con las condiciones iniciales: y(0) = 2, y ' (0) = 1 (toda esta información está en el enunciado).

Luego, pasamos a la ecuación característica:

r² + 4r + 4 = 0, cuyas solución (observa que es única) es: r = -2

Luego, pasamos a la solución general:

y = ae^-2x + bxe^-2x (1), con a ∈ R y b ∈ R 

Luego, pasamos a la derivada primera:

y ' = -2ae^-2x + be^-2x - 2bxe^-2x (2).

Luego, a partir de las condiciones iniciales, reemplazamos x = 0, y = 2 e y ' = 1 en las ecuaciones señaladas (1) (2),

y queda el sistema de ecuaciones:

2 = a 

1 = -2a + b, en donde reemplazamos el valor de a, despejamos y queda: 5 = b.

Por último, reemplazas en la ecuación señalada (1) y queda:

y = 2e^-2x + 5xe^-2x, que es la solución particular de la ecuación diferencial, para las condiciones iniciales del enunciado

Espero haberte ayudado.

Puedes plantear ambos con el método de sustitución (cambio de variable):

b) t = w², de donde tienes: dt = 2w*dw,

y observa para los límites de integración: para t comprendido entre 0 y 2, corresponde w comprendido entre 0 y √(2).

luego sustituyes y la integral queda:

I = ∫ (2 - w²)*√(w²)*2w*dw = 2*∫ (2 - w²)*w²*dw, y puedes continuar la tarea.

g) w = senφ, de donde tienes: dw = cosφ*dφ,

y observa que para los límites de integración: para φ comprendido entre π/2 y π, corresponde w comprendido entre 1 y 0 (observa que debes conservar el orden de los límites de integración, por más que el primero sea mayor que el segundo),

luego sustituyes y la integral queda:

I = ∫ w³*dw, y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.