Te cambio el enunciado, pues tal como está no hay solución.

Espero sea eso lo que buscabas

Observa que para que una función vectorial sea continua en un intervalo D se tiene que cumplir que todas sus componentes también sean continuas en dicho intervalo.

a)

Tienes que las componentes:

x(t) = 8t, que es continua en (-∞,+∞),

y(t) = -1/t, que es continua en (-∞,0) ∪ (0,+∞);

por lo tanto, tienes que la función vectorial es continua en el intervalo que es intersección de los tres intervalos: D = (-∞,0) ∪ (0,+∞).

b)

Tienes que las componentes:

x(t) = ln(5t+1), que es continua en (-1/5,+∞),

y(t) = 1/√(t²-9), que es continua en (-∞,-3) ∪ (3,+∞),

z(t) = cos(t), que es continua en (-∞,+∞);

por lo tanto, tienes que la función vectorial es continua en el intervalo que es intersección de los tres intervalos: D = (3,+∞).

Espero haberte ayudado.

Propiedades :
* Cos²(u) - Sen²(u) = Cos(2u)
* 2Sen(u) Cos(u) = Sen(2u)

Parte izquierda :
 Cos²(x/2) - Sen²(x/2) = Cos( 2(x/2) ) = Cos(x) , también 
2Sen(x/2) Cos(x/2) = Sen( 2(x/2) ) = Sen(x) , entonces queda 
I = Cosx + Senx

Elevando ambos lados al cuadrado queda
(Cosx + Senx)² = 1 + Sen(2x)
Cos²x + Sen²x + 2Senx Cosx = 1 + Sen(2x)
1 + Sen(2x) = 1 + Sen(2x)  , .......Recordar la identidad  Sen²x + Cos²x  = 1
Como cumple la igualdad es una identidad .

Cualquier duda me decís!

Gracias Victor; lo único es que no puedo ver bien la solución del problema debido a que hay mucha luz o el lápiz es muy claro.

Te recomiendo descargues la imagen dando "un clic derecho" y la opción "Guardar como..."

Por las dudas lo subo de nuevo!

Cuando haces el cambio de variable no estás haciendo mucho solo le lamas u a x (solo para aclarar)... Deberías probar primero que clase de límite es reemplazando el valor al que tiende x... osea al Lím (x→0) de [cos (3.x) -1] / (2. x^2) = [cos (3.0) -1] / (2. 0^2)... cos 0 =1... y esto da (1-1)/0 = 0/0 osea el primer caso deberías aplicar

Es un límite del tipo 0/0 , es indeterminado se tiene que levantar la indeterminación .
Allí estás aplicando las propiedades de multiplicación de límites pero ocurre que al hacer ello te encuentras con 
otra forma indeterminada que es  (infinito)*(cero) , esto último no es levantar la indeterminación porque de una forma indeterminada pasas a otra también indeterminada .

Una forma para este caso es aplicar la regla de L Hopital que es derivar a numerador y denominador , hasta levantar la indeterminación.

Otra manera sin derivar , hay que llevarlo a límites conocidos .
Por propiedad trigonométrica 1 - Cos(2k) = 2Sen² k , aplicando esto al numerador se tiene
Cos(3x) - 1 = - [ 1 - Cos(3x) ] = - 2Sen²(3x/2) 
el denominador se puede poner como 2 *(4/9) * (3x/2)² , la idea es darle forma 
Reemplazando queda :
L = Limit x-->0 [- 2Sen²(3x/2) ] / [ 2 * (4/9) * (3x/2)² ] = - (9/4) Limit x-->0 [  Sen(3x/2) / (3x/2)]²  

Acá ya se tiene un límite conocido Limit u-->0  Senu / u = 1

L = - (9/4)(1)² = - 9/4 

El lím que se obtiene es -∞ por lo tanto como no coinciden los límites es discontinua... si probas por derecha acercandote en milésimos a 1 vas a ver que va ir creciendo el resultado positivamente y si lo probas por derecha crece negativamente.... reemplazá valores como (0,8899; 0,9; 0,99; 0,999 y 1,01; 1,009; 1,00001) así se prueban los límites laterales.

Si probas por izquierda acercandote en milésimos a 1*

Quizá haya una confusión, el límite no es lo mismo que la función evaluada en un punto , justamente esto es lo que se tiene que averiguar mediante las operaciones para poder saber si en un punto dado es continua o no lo es .
Hay que tener en cuenta que " al límite no le interesa como es la función en ese punto " puede que exista , puede que sean diferentes , iguales o lo que sea .

Continuidad en x = 1
a) x = 1 pertenece al dominio ? ... Sí 

b) Calcular límite cuando x-->1 , hay que analizar los límites laterales :
 * Cuando tiende a 1 por la derecha x > 1 ==> x - 1 > 0 .....el numerador tiende a  ( - 2 ) , el denominador tiende a cero pero es positivo ,       entonces el límite es  ( - infinito ) .... algo así :  -2 / 0⁺ = - infinito , ya que (-) / (+) = (-)
** Cuando tiende a 1 por la izquierda  x < 1 ==> x - 1 < 0 .....el numerador tiende a  ( - 2 ) , el denominador tiende a cero pero es negativo ,       entonces el límite es  ( + infinito ) ... algo así :  -2 / 0^- = + infinito , ya que  (-) / (-) = (+)
Conclusión el límite no existe .

c) El límite debe ser igual a la función en x=1 , esto ya ni lo vemos porque el paso (b)  dice que el límite no existe .

Para la continuidad se deben cumplir esas 3 cosas  i) 1 debe pertenecer al dominio  , ii) Debe existir el límite cuando x-->1 , iii) limit x-->1 f(x) = f(1) .

Entonces como la segunda condición no se cumple y por ende tampoco la tercera entonces la función no es continua en x = 1

Además la parte (b) indica que allí existe una discontinuidad esencial o no evitable , específicamente discontinuidad asintótica .

Neofito supongo que estás analizando la función cuando x distinto de 1, la pregunta es, ¿porque? es decir, si tengo que la función vale 2 cuando x = 1 y vale lo otro para x distinto de 1, porque analizaría el límite en la otra función y no en 2, donde si está definido para x = 1 que es donde me piden calcular el límite, no sé si fui claro

Hola Facu , justamente por lo indicado arriba : para el límite no se analiza ni se tiene en cuenta cómo es la función en ese punto , sino lo que importa es cómo se comporta la función cuando x se aproxima a 1 (no su valor cuando x=1 osea f(1) ), entonces se analiza  la función cuando x se acerca a 1 por la derecha y por la izquierda . Esto lo puedes verificar en la definición de límite cuando dice 0 < |x - x₀| < δ  fíjate acá que x ≠ x₀ 
Por eso la frase de arriba  que " al límite no le interesa como es la función en ese punto "

Lo anterior es muy importante que quede claro . Ahora responderé porqué analizar el límite allí :
Lo que se debe analizar es cuando x  se acerca a 1 , es decir cuando x no es 1 pero está muy cerca a 1 , en otras palabras cuando es diferente de 1 y cuando x ≠ 1 me dan una regla de correspondencia  (2x^2 + x - 5) / (x-1)  esta se usa para calcular el límite ya que con esta regla de correspondencia voy a poder conocer el comportamiento de la función cuando x >1 y cuando x < 1 ( x muy cercano a 1) que es el propósito del límite.

Entonces hay que quitarse la idea que límite es lo mismo que evaluar la función en un punto , esto obviamente se consigue comprendiendo y estudiando un poco más los conceptos .


Otro asunto , lo que piden no es si está definida o no en x=1 (obviamente sí lo está) sino lo que piden es analizar la continuidad en x=1 y para ello se deben cumplir 3 condiciones necesarias y suficientes que arriba indico .