Mejor pon foto del enunciado original.

¿Puedes poner foto del enunciado original, Ángel?

No, pero puedo aclarar que en donde dice pertenece quize poner A E M3x2 y b E M3x1(R). en donde "E" significa pertenece. 

Me equivoque en la pregunta en donde pongo  b pertenece M3x2 (R)  era M3x1

Bueno, vamos aclarando cosas,

Si b es una matriz 3x1 (o sea un vector de IR^3) no nula, entonces el vector x=(0,0,0) (en columna) no es solución del sistema (pues éste no es homogéneo). Por tanto W (subespacio de soluciones) no posee el vector nulo. Entonces W no puede ser subespacio vectorial.

L indica "logaritmo neperiano" , o sea, logaritmo en base e.

Para aplicar L'Hôpital, ten presente que (Lx)'=1/x

Gracias, ahora entiendo y solo me surge la siguiente duda:
En la tercera en la cual evaluado el valor 7 da el logaritmo con un numero negativo, es correcto aplicar L'Hôpital aun cuando no es de la forma indefinida 0/0 o  ∞/∞ explicitamente?

No, sale también  0/0, pues L(7-5)/2)=L1=0

Verdad, me traiciono la vista por no pasarlo a papel. Al ser f'(x-5)=1 en el divisor el resultado seria simplemente evaluar el valor en la derivada de la funcion logaritmica en este caso: 1/(x-5)
dando como resultado: 1/(7-5) = 1/2

Como dedujo la primera pregunta? porque es lo que me piden. 

Multiplicando matrices, Ángel. Échale un vistazo a la teoría.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Para el 8 hay que usar la defincion de las coordenas del centroide,digamos que son (a,b), vienen dados por 

a=∫∫xds/∫∫ds, donde S es la superficie donde vamos a integrar, ve que y² =x+9 la podemos ver como funcion de x, asi y=√x+9, por otro lado el segundo cuadradante, x<0,y>0, por lo que nuestra superficie S es esa porcion de la grafica delimitada por los ejes,nota que,en esta superficie, 0<y<√x+9 y -9<x<0, asi, ya solo hay que evaluar las integrales para hallar el centroide

∫∫xds=∫∫xdydx (la primer integral de izquierda a derecha va de x=-9 a x=0 y la segunda va de y=0 a y=√x+9 

∫∫ds=∫∫dydx ((la primer integral de izquierda a derecha va de x=-9 a x=0 y la segunda va de y=0 a y=√x+9 )

Asi,a ya estaria determinado,solo "quedaria" hacer el calculo de esas integrales

Para b lo definen como b=∫∫yds/∫∫ds,analogamente,se tiene que 

∫∫yds=∫∫ydydx (la primer integral de izquierda a derecha va de x=-9 a x=0 y la segunda va de y=0 a y=√x+9 

∫∫ds=∫∫dydx ((la primer integral de izquierda a derecha va de x=-9 a x=0 y la segunda va de y=0 a y=√x+9 )

Para el 10 es bastante similar, nota  si 0<x<π/3, y que para estas x, 0<y<2sen(3x) es la superficie donde vamos a integrar, asi

a= ∫∫xds/∫∫ds

∫∫xds=∫∫xdydx (la primer integral de izquierda a derecha va de x=0 a x=π/3 y la segunda va de y=0 a y=2sen3x 

∫∫ds=∫∫dydx ((la primer integral de izquierda a derecha va de x=0 a x=π/3 y la segunda va de y=0 a y=2sen3x 

Asi a ya queda determinado con hacer el calculo de estas integrales, y para b se tiene que 

∫∫yds=∫∫ydydx (la primer integral de izquierda a derecha va de x=0 a x=π/3 y la segunda va de y=0 a y=2sen3x 

∫∫ds=∫∫dydx ((la primer integral de izquierda a derecha va de x=0 a x=π/3 y la segunda va de y=0 a y=2sen3x 

por lo que el centroide es (a,b)

 

Solo por métodos de aproximación:

Observa que tienes la ecuación de la gráfica de una función continua en R, y del eje OX, que es: y = 0.

Luego, igualas expresiones, y queda la ecuación:

x³ - x² - 9x = 0, extraes factor común, y queda:

x*(x² - x - 9) = 0;

luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:

x = 0,

y también:

x² - x - 9 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

x = ( 1 - √(37) )/2 ≅ -2,541,

x = ( 1 + √(37) )/2 ≅ 3,541.

Luego, evalúa la expresión de la función para valores intermedios (por ejemplo: x₁ = -1 y x₂ = 1, y tienes:

y₁ = -1 - 1 + 9 = 7 > 0,

y₂ = 1 - 1 - 9 = - 9 < 0;

y puedes visualizar que tienes dos regiones:

R₁: región "por encima" del eje OX, comprendida entre x_a = ( 1 - √(37) )/2 y x_b = 0,

R₂: región "por debajo" del eje OX, comprendida entre x_b = 0 y x_c = ( 1 + √(37) )/2.

Luego, puedes plantear la expresión del área requerida en tu enunciado:

A = A₁ + A₂ = _{(1-√(37))/2}∫⁰ ( (x³ - x² - 9x) - (0) )*dx + ₀∫^{(1+√(37))/2} ( (0) - (x³ - x² - 9x) )*dx =

reduces las expresiones de los argumentos de las integrales, y queda.

= _{(1-√(37))/2}∫⁰ (x³ - x² - 9x)*dx + ₀∫^{(1+√(37))/2} (-x³ + x² + 9x) )*dx = y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

no lo entiendo, me lo puedes explicar de otra forma, por favor